高一數學練習題函數的單調性的概念

時間：2021-06-14 16:08:38 試題我要投稿

高一數學練習題函數的單調性的概念

　　1.若函數f(x)在區間[m,n]上是增函數,在區間[n,k]上也是增函數,則函數f(x)在區間(m,k)上( )

高一數學練習題函數的單調性的概念

　　A.必是減函數 B.是增函數或減函數

　　C.必是增函數 D.未必是增函數或減函數

　　答案：C

　　解析：任取x1、x2(m,k),且x1

　　若x1、x2(m,n],則f(x1)

　　若x1、x2[n,k),則f(x1)

　　若x1(m,n],x2(n,k),則x1n

　　f(x1)f(n)

　　f(x)在(m,k)上必為增函數.

　　2.函數f(x)=x2+4ax+2在(-,6)內遞減,那么實數a的取值范圍是( )

　　A.a3 B.a3 C.a-3 D.a-3

　　答案：D

　　解析：∵- =-2a6,a-3.

　　3.若一次函數y=kx+b(k0)在(-,+)上是單調增函數,那么點(k,b)在直角坐標平面的( )

　　A.上半平面 B.下半平面

　　C.左半平面 D.右半平面

　　答案：D

　　解析：易知k0,bR,(k,b)在右半平面.

　　4.下列函數中,在區間(0,2)上為增函數的是( )

　　A.y=-x+1 B.y=

　　C.y=x2-4x+5 D.y=

　　答案：B

　　解析：C中y=(x-2)2+1在(0,2)上為減函數.

　　5.函數y= 的單調遞增區間是___________,單調遞減區間是_____________.

　　答案：[-3,- ] [- ,2]

　　解析：由-x2-x-60,即x2+x-60,解得-32.

　　y= 的定義域是[-3,2].

　　又u=-x2-x+6的對稱軸是x=- ,

　　u在x[-3,- ]上遞增,在x[- ,2]上遞減.

　　又y= 在[0,+]上是增函數,y= 的.遞增區間是[-3,- ],遞減區間[- ,2].

　　6.函數f(x)在定義域[-1,1]上是增函數,且f(x-1)

　　答案：1

　　解析：依題意 1

　　7.定義在R上的函數f(x)滿足f(-x)= 0,又g(x)=f(x)+c(c為常數),在[a,b]上是單調遞增函數,判斷并證明g(x)在[-b,-a]上的單調性.

　　解：任取x1、x2[-b,-a]且-bx1

　　則g(x1)-g(x2)=f(x1)-f(x2)= .

　　∵g(x)=f(x)+c在[a,b]上是增函數,

　　f(x)在[a,b]上也是增函數.

　　又b-x2a,

　　f(-x1)f(-x2).

　　又f(-x1),f(-x2)皆大于0,g(x1)-g(x2)0,即g(x1)

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　　8.設函數f(x)在(-,+)上是減函數,則下列不等式正確的是( )

　　A.f(2a)

　　C.f(a2+a)

　　答案：D

　　解析：∵a2+1-a=(a- )2+ 0,

　　a2+1a.函數f(x)在(-,+)上是減函數.

　　f(a2+1)

　　9.若f(x)=x2+bx+c,對任意實數t都有f(2+t)=f(2-t),那么( )

　　A.f(1)

　　C.f(2)

　　答案：C

　　解析：∵對稱軸x=- =2,b=-4.

　　f(1)=f(3)

　　10.已知函數f(x)=x3-x在(0,a]上遞減,在[a,+)上遞增,則a=____________

　　答案：

　　解析：設0

　　f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(x12+x1x2+x22-1),

　　當0f(x2).

　　同理,可證 x1

　　11.函數f(x)=|x2-2x-3|的增區間是_________________.

　　答案：(-1,1),(3,+)

　　解析：f(x)= 畫出圖象易知.

　　12.證明函數f(x)= -x在其定義域內是減函數.

　　證明:∵函數f(x)的定義域為(-,+),

　　設x1、x2為區間(-,+)上的任意兩個值且x1

　　f(x2)-f(x1)= - -(x2-x1)= -(x2-x1)

　　=(x2-x1) =(x2-x1) .

　　∵x2x1,x2-x10且 + 0.

　　又∵對任意xR,都有 =|x|x,有 x,即有x- 0.

　　x1- 0,x2- 0.

　　f(x2)-f(x1)0,即f(x2)

　　函數f(x)= -x在其定義域R內單調遞減.

　　13.設函數f(x)對于任意x、yR,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且f(x)在(-,+)上單調遞減,若 f(x2)-f(x) f(bx)-f(b),求x的范圍.

　　解：∵f(x+y)=f(x)+f(y)(x、yR),

　　2f(x)=f(x)+f(y)=f(2x).

　　同理,2f(b)=f(2b).

　　由 f(x2)-f(x) f(bx)-f(b),

　　得f(x2)+2f(b)f(bx)+2f(x),

　　即f(x2)+f(2b)f(bx)+f(2x).

　　即f(x2+2b)f(bx+2x).

　　又∵f(x)在(-,+)上單調遞減,

　　x2+2b

　　x2-(b+2)x+2b0.

　　x2-(b+2)x+2b=(x-2)(x-b)0.

　　當b2時,得2

　　當b2時,得b

　　當b=2時,得x .

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　　14.設函數f(x)是(-,+)上的減函數,則f(2x-x2)的單調增區間是( )

　　A.(-,2) B.[-2,+] C.(-,-1] D.[1,+)

　　答案：D

　　解析：令t=g(x)=2x-x2=-(x-1)2+1知:當x1時,函數g(x)單調遞減;當x1時,函數g(x)單調遞增.又因函數f(t)在(-,+)上遞減,故f(2x-x2)的單調減區間為(-,1],增區間為[1,+).

　　15.老師給出一個函數y=f(x),四個學生甲、乙、丙、丁各指出這個函數的一個性質:

　　甲:對于xR,都有f(1+x)=f(1-x);

　　乙:在(-,0]上函數遞減;

　　丙:在(0,+)上函數遞增;

　　丁:f(0)不是函數的最小值.

　　如果其中恰有三人說得正確,請寫出一個這樣的函數:________________.

　　答案：f(x)=(x-1)2(不唯一)

　　解析：f(x)=(x-1)2(答案不唯一,滿足其中三個且另一個不滿足即可).

　　f(1+x)=f(1-x)表示對稱軸方程為x=1.

　　16.已知函數f(x)= ,x[1,+).

　　(1)當a= 時,求函數f(x)的最小值;

　　(2)若對任意x[1,+),f(x)0恒成立,求實數a的取值范圍.

　　解：(1)當a= 時,f(x)=x+ +2,設1x1

　　則f(x2)-f(x1)=x2+ -(x1+ )= .

　　因為1x10,2x1x2-10,2x1x20 f(x2)-f(x1)0,

　　即f(x)在[1,+]上單調遞增,f(x)min=f(1)=1+ +2= .

　　(2)x[1,+],f(x)0恒成立 x2+2x+a0恒成立,即a-x2-2x恒成立,又y=-x2-2x=

　　-(x+1)2+1-3,所以a-3.

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