數學二次函數知識點總結

時間：2025-02-13 17:29:40 思穎總結我要投稿

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數學二次函數知識點總結

　　在我們平凡的學生生涯里，是不是聽到知識點，就立刻清醒了？知識點就是學習的重點。那么，都有哪些知識點呢？下面是小編整理的數學二次函數知識點總結，歡迎大家分享。

數學二次函數知識點總結

　　數學二次函數知識點總結 1

　　二次函數及其圖像

　　二次函數(quadraticfunction)是指未知數的最高次數為二次的多項式函數。二次函數可以表示為f(x)=ax^2bxc(a不為0)。其圖像是一條主軸平行于y軸的拋物線。

　　一般的，自變量x和因變量y之間存在如下關系：

　　一般式

　　y=ax∧2;bxc(a≠0,a、b、c為常數)，頂點坐標為(-b/2a，-(4ac-b∧2)/4a);

　　頂點式

　　y=a(xm)∧2k(a≠0,a、m、k為常數)或y=a(x-h)∧2k(a≠0,a、h、k為常數)，頂點坐標為(-m，k)對稱軸為x=-m，頂點的位置特征和圖像的開口方向與函數y=ax∧2的圖像相同，有時題目會指出讓你用配方法把一般式化成頂點式;

　　交點式

　　y=a(x-x1)(x-x2)[僅限于與x軸有交點A(x1，0)和B(x2，0)的拋物線];

　　重要概念：a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下。a的絕對值還可以決定開口大小,a的絕對值越大開口就越小,a的絕對值越小開口就越大。

　　牛頓插值公式(已知三點求函數解析式)

　　y=(y3(x-x1)(x-x2))/((x3-x1)(x3-x2)(y2(x-x1)(x-x3))/((x2-x1)(x2-x3)(y1(x-x2)(x-x3))/((x1-x2)(x1-x3)。由此可引導出交點式的系數a=y1/(x1*x2)(y1為截距)

　　求根公式

　　二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。

　　x是自變量，y是x的二次函數

　　x1,x2=[-b±(√(b^2-4ac))]/2a

　　(即一元二次方程求根公式)

　　求根的方法還有因式分解法和配方法

　　在平面直角坐標系中作出二次函數y=2x的平方的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條永無止境的拋物線。不同的二次函數圖像

　　如果所畫圖形準確無誤，那么二次函數將是由一般式平移得到的。

　　注意：草圖要有1本身圖像，旁邊注明函數。

　　2畫出對稱軸，并注明X=什么

　　3與X軸交點坐標，與Y軸交點坐標，頂點坐標。拋物線的性質

　　軸對稱

　　1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=-b/2a。

　　對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。

　　特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

　　頂點

　　2.拋物線有一個頂點P，坐標為P(-b/2a，4ac-b^2;)/4a)

　　當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ=b^2;-4ac=0時，P在x軸上。

　　開口

　　3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。

　　當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。

　　|a|越大，則拋物線的開口越小。

　　決定對稱軸位置的因素

　　4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。

　　當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;因為若對稱軸在左邊則對稱軸小于0，也就是-b/2a<0,所以b/2a要大于0，所以a、b要同號

　　當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。因為對稱軸在右邊則對稱軸要大于0，也就是-b2a="">0,所以b/2a要小于0，所以a、b要異號

　　可簡單記憶為左同右異，即當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。

　　事實上，b有其自身的幾何意義：拋物線與y軸的交點處的該拋物線切線的函數解析式(一次函數)的斜率k的值。可通過對二次函數求導得到。

　　決定拋物線與y軸交點的因素

　　5.常數項c決定拋物線與y軸交點。

　　拋物線與y軸交于(0，c)

　　拋物線與x軸交點個數

　　6.拋物線與x軸交點個數

　　Δ=b^2-4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點。

　　Δ=b^2-4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點。

　　Δ=b^2-4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(x=-b±√b^2-4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)

　　當a>0時，函數在x=-b/2a處取得最小值f(-b/2a)=4ac-b/4a;在{x|x<-b/2a}上是減函數，在{x|x>-b/2a}上是增函數;拋物線的開口向上;函數的值域是{y|y≥4ac-b^2/4a}相反不變

　　當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸，這時，函數是偶函數，解析式變形為y=ax^2c(a≠0)

　　特殊值的形式

　　7.特殊值的形式

　　①當x=1時y=abc

　　②當x=-1時y=a-bc

　　③當x=2時y=4a2bc

　　④當x=-2時y=4a-2bc

　　二次函數的性質

　　8.定義域：R

　　值域：(對應解析式，且只討論a大于0的情況，a小于0的情況請讀者自行推斷)①[(4ac-b^2)/4a，

　　正無窮);②[t，正無窮)

　　奇偶性：當b=0時為偶函數，當b≠0時為非奇非偶函數。

　　周期性：無

　　解析式：

　　①y=ax^2bxc[一般式]

　　⑴a≠0

　　⑵a>0，則拋物線開口朝上;a<0，則拋物線開口朝下;

　　⑶極值點：(-b/2a，(4ac-b^2)/4a);

　　⑷Δ=b^2-4ac,

　　Δ>0，圖象與x軸交于兩點：

　　([-b-√Δ]/2a，0)和([-b√Δ]/2a，0);

　　Δ=0，圖象與x軸交于一點：

　　(-b/2a，0);

　　Δ<0，圖象與x軸無交點;

　　②y=a(x-h)^2k[頂點式]

　　此時，對應極值點為(h，k)，其中h=-b/2a，k=(4ac-b^2)/4a;

　　③y=a(x-x1)(x-x2)[交點式(雙根式)](a≠0)

　　對稱軸X=(X1X2)/2當a>0且X≧(X1X2)/2時，Y隨X的增大而增大，當a>0且X≦(X1X2)/2時Y隨X的增大而減小

　　此時，x1、x2即為函數與X軸的兩個交點，將X、Y代入即可求出解析式(一般與一元二次方程連用)。

　　交點式是Y=A(X-X1)(X-X2)知道兩個x軸交點和另一個點坐標設交點式。兩交點X值就是相應X1X2值。

　　26.2用函數觀點看一元二次方程

　　1.如果拋物線與x軸有公共點，公共點的橫坐標是，那么當時，函數的值是0，因此就是方程的一個根。

　　2.二次函數的圖象與x軸的位置關系有三種：沒有公共點，有一個公共點，有兩個公共點。這對應著一元二次方程根的三種情況：沒有實數根，有兩個相等的實數根，有兩個不等的實數根。

　　26.3實際問題與二次函數

　　在日常生活、生產和科研中，求使材料最省、時間最少、效率最高等問題，有些可歸結為求二次函數的最大值或最小值。

　　二次函數

　　提醒大家：上面的內容是二次函數知識點，請大家做好筆記了。

　　平面直角坐標系

　　平面直角坐標系：在平面內畫兩條互相垂直、原點重合的數軸，組成平面直角坐標系。

　　水平的數軸稱為x軸或橫軸，豎直的數軸稱為y軸或縱軸，兩坐標軸的交點為平面直角坐標系的原點。

　　平面直角坐標系的要素：

　　①在同一平面

　　②兩條數軸

　　③互相垂直

　　④原點重合

　　三個規定：

　　①正方向的規定橫軸取向右為正方向，縱軸取向上為正方向

　　②單位長度的規定；一般情況，橫軸、縱軸單位長度相同；實際有時也可不同，但同一數軸上必須相同。

　　③象限的規定：右上為第一象限、左上為第二象限、左下為第三象限、右下為第四象限。

　　平面直角坐標系的構成

　　在同一個平面上互相垂直且有公共原點的兩條數軸構成平面直角坐標系，簡稱為直角坐標系。通常，兩條數軸分別置于水平位置與鉛直位置，取向右與向上的方向分別為兩條數軸的正方向。水平的數軸叫做X軸或橫軸，鉛直的數軸叫做Y軸或縱軸，X軸或Y軸統稱為坐標軸，它們的公共原點O稱為直角坐標系的原點。

　　通過上面對平面直角坐標系的'構成知識的講解學習，希望同學們對上面的內容都能很好的掌握，同學們認真學習吧。

　　點的坐標的性質

　　建立了平面直角坐標系后，對于坐標系平面內的任何一點，我們可以確定它的坐標。反過來，對于任何一個坐標，我們可以在坐標平面內確定它所表示的一個點。

　　對于平面內任意一點C，過點C分別向Ｘ軸、Ｙ軸作垂線，垂足在Ｘ軸、Ｙ軸上的對應點a，b分別叫做點C的橫坐標、縱坐標，有序實數對（a，b）叫做點C的坐標。

　　一個點在不同的象限或坐標軸上，點的坐標不一樣。

　　因式分解的一般步驟

　　如果多項式有公因式就先提公因式，沒有公因式的多項式就考慮運用公式法；若是四項或四項以上的多項式，通常采用分組分解法，最后運用十字相乘法分解因式。因此，可以概括為：“一提”、“二套”、“三分組”、“四十字”。

　　注意：因式分解一定要分解到每一個因式都不能再分解為止，否則就是不完全的因式分解，若題目沒有明確指出在哪個范圍內因式分解，應該是指在有理數范圍內因式分解，因此分解因式的結果，必須是幾個整式的積的形式。

　　因式分解

　　因式分解定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式的變形叫把這個多項式因式分解。

　　因式分解要素：

　　①結果必須是整式

　　②結果必須是積的形式

　　③結果是等式

　　④因式分解與整式乘法的關系：m(a+b+c)

　　公因式：一個多項式每項都含有的公共的因式，叫做這個多項式各項的公因式。

　　公因式確定方法：

　　①系數是整數時取各項最大公約數。

　　②相同字母取最低次冪

　　③系數最大公約數與相同字母取最低次冪的積就是這個多項式各項的公因式。

　　提取公因式步驟：

　　①確定公因式。

　　②確定商式

　　③公因式與商式寫成積的形式。

　　分解因式注意；

　　①不準丟字母

　　②不準丟常數項注意查項數

　　③雙重括號化成單括號

　　④結果按數單字母單項式多項式順序排列

　　⑤相同因式寫成冪的形式

　　⑥首項負號放括號外

　　⑦括號內同類項合并。

　　數學二次函數知識點總結 2

　　1.二次函數的概念

　　二次函數的概念：一般地，形如(是常數，)的函數，叫做二次函數。這里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數，而可以為零.二次函數的定義域是全體實數。

　　2.二次函數的結構特征：

　　⑴等號左邊是函數，右邊是關于自變量的二次式，的最高次數是2。

　　⑵是常數，是二次項系數，是一次項系數，是常數項。

　　2.初三數學二次函數的三種表達式

　　一般式：y=ax^2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)。頂點式：y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P(h，k)]。

　　交點式：y=a(x-x)(x-x)[僅限于與x軸有交點A(x，0)和B(x，0)的拋物線]。

　　注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax,x=(-b±√b^2-4ac)/2a。

　　3.二次函數的性質

　　1.性質：

　　(1)在一次函數上的任意一點P(x，y)，都滿足等式：y=kx+b。

　　(2)一次函數與y軸交點的坐標總是(0，b)，與x軸總是交于(-b/k，0)正比例函數的圖像總是過原點。

　　2.k，b與函數圖像所在象限：當k>0時，直線必通過一、三象限，y隨x的增大而增大;當k<0時，直線必通過二、四象限，y隨x的增大而減小。當b>0時，直線必通過一、二象限;當b=0時，直線通過原點;當b<0時，直線必通過三、四象限。特別地，當b=o時，直線通過原點o(0，0)表示的`是正比例函數的圖像。這時，當k>0時，直線只通過一、三象限;當k<0時，直線只通過二、四象限。

　　4.初三數學二次函數圖像

　　對于一般式：①y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c兩圖像關于y軸對稱。

　　②y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx-c兩圖像關于x軸對稱。

　　③y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx+c-b2/2a關于頂點對稱。

　　④y=ax2+bx+c與y=-ax2+bx-c關于原點中心對稱。(即繞原點旋轉180度后得到的圖形)

　　對于頂點式：

　　①y=a(x-h)2+k與y=a(x+h)2+k兩圖像關于y軸對稱，即頂點(h,k)和(-h,k)關于y軸對稱，橫坐標相反、縱坐標相同。

　　②y=a(x-h)2+k與y=-a(x-h)2-k兩圖像關于x軸對稱，即頂點(h,k)和(h,-k)關于x軸對稱，橫坐標相同、縱坐標相反。

　　③y=a(x-h)2+k與y=-a(x-h)2+k關于頂點對稱，即頂點(h,k)和(h,k)相同，開口方向相反。

　　④y=a(x-h)2+k與y=-a(x+h)2-k關于原點對稱，即頂點(h,k)和(-h,-k)關于原點對稱，橫坐標、縱坐標都相反。(其實①③④就是對f(x)來說f(-x),-f(x),-f(-x)的情況)

　　數學二次函數知識點總結 3

　　一、基本概念

　　1.方程、方程的解(根)、方程組的解、解方程(組)

　　2. 分類：

　　二、解方程的依據—等式性質

　　1.a=b←→a+c=b+c

　　2.a=b←→ac=bc (c≠0)

　　三、解法

　　1.一元一次方程的解法：去分母→去括號→移項→合并同類項→

　　系數化成1→解。

　　2. 元一次方程組的解法：⑴基本思想：“消元”⑵方法：①代入法

　　②加減法

　　四、一元二次方程

　　1.定義及一般形式：

　　2.解法：⑴直接開平方法(注意特征)

　　⑵配方法(注意步驟—推倒求根公式)

　　⑶公式法：

　　⑷因式分解法(特征：左邊=0)

　　3.根的判別式：

　　4.根與系數頂的關系：

　　逆定理：若，則以為根的`一元二次方程是：。

　　5.常用等式：

　　五、可化為一元二次方程的方程

　　1.分式方程

　　⑴定義

　　⑵基本思想：

　　⑶基本解法：①去分母法②換元法(如， )

　　⑷驗根及方法

　　2.無理方程

　　⑴定義

　　⑵基本思想：

　　⑶基本解法：①乘方法(注意技巧!!)②換元法(例， )⑷驗根及方法

　　3.簡單的二元二次方程組

　　由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的二元二次方程組都可用代入法解。

　　六、列方程(組)解應用題

　　一概述

　　列方程(組)解應用題是中學數學聯系實際的一個重要方面。其具體步驟是：

　　⑴審題。理解題意。弄清問題中已知量是什么，未知量是什么，問題給出和涉及的相等關系是什么。

　　⑵設元(未知數)。①直接未知數②間接未知數(往往二者兼用)。一般來說，未知數越多，方程越易列，但越難解。

　　⑶用含未知數的代數式表示相關的量。

　　⑷尋找相等關系(有的由題目給出，有的由該問題所涉及的等量關系給出)，列方程。一般地，未知數個數與方程個數是相同的。

　　⑸解方程及檢驗。

　　⑹答案。

　　綜上所述，列方程(組)解應用題實質是先把實際問題轉化為數學問題(設元、列方程)，在由數學問題的解決而導致實際問題的解決(列方程、寫出答案)。在這個過程中，列方程起著承前啟后的作用。因此，列方程是解應用題的關鍵。

　　二常用的相等關系

　　1. 行程問題(勻速運動)

　　基本關系：s=vt

　　⑴相遇問題(同時出發)：

　　+ = ;

　　⑵追及問題(同時出發)：

　　若甲出發t小時后，乙才出發，而后在B處追上甲，則

　　⑶水中航行： ;

　　2. 配料問題：溶質=溶液×濃度

　　溶液=溶質+溶劑

　　3.增長率問題：

　　4.工程問題：基本關系：工作量=工作效率×工作時間(常把工作量看著單位“1”)。

　　5.幾何問題：常用勾股定理，幾何體的面積、體積公式，相似形及有關比例性質等。

　　數學二次函數知識點總結 4

　　1二次函數的定義

　　一般地，形如y=ax2+bx+c(a，b，c為常數，a≠0)的函數叫做x的二次函數.如y=3x2，y=3x2-2，y=2x2+x-1等都是二次函數.

　　注意：(1)二次函數是關于自變量的二次式，二次項系數a必須是非零實數，即a≠0，而b，c是任意實數，二次函數的表達式是一個整式;

　　(2)二次函數y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a≠0)，自變量x的取值范圍是全體實數;

　　(3)當b=c=0時，二次函數y=ax2是最簡單的二次函數;

　　(4)一個函數是否是二次函數，要化簡整理后，對照定義才能下結論，例如y=x2-x(x-1)化簡后變為y=x，故它不是二次函數.

　　2二次函數解析式的幾種形式

　　(1)一般式：y=ax2+bx+c (a,b,c為常數，a≠0).

　　(2)頂點式：y=a(x-h)2+k(a,h,k為常數，a≠0).

　　(3)兩根式：y=a(x-x1)(x-x2)，其中x1,x2是拋物線與x軸的交點的橫坐標，即一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根，a≠0.

　　說明：(1)任何一個二次函數通過配方都可以化為頂點式y=a(x-h)2+k，拋物線的頂點坐標是(h,k)，h=0時，拋物線y=ax2+k的頂點在y軸上;當k=0時，拋物線a(x-h)2的頂點在x軸上;當h=0且k=0時，拋物線y=ax2的`頂點在原點

　　3二次函數y=ax2+c的圖象與性質

　　(1)拋物線y=ax2+c的形狀由a決定，位置由c決定.

　　(2)二次函數y=ax2+c的圖象是一條拋物線，頂點坐標是(0，c)，對稱軸是y軸.

　　當a>0時，圖象的開口向上，有最低點(即頂點)，當x=0時，y最小值=c.在y軸左側，y隨x的增大而減小;在y軸右側，y隨x增大而增大.

　　當a<0時，圖象的開口向下，有最高點(即頂點)，當x=0時，y最大值=c.在y軸左側，y隨x的增大而增大;在y軸右側，y隨x增大而減小.

　　(3)拋物線y=ax2+c與y=ax2的關系.

　　拋物線y=ax2+c與y=ax2形狀相同，只有位置不同.拋物線y=ax2+c可由拋物線y=ax2沿y軸向上或向下平行移動|c|個單位得到.當c>0時，向上平行移動，當c<0時，向下平行移動.

　　數學二次函數知識點總結 5

　　一、二次函數概念：

　　a0）b，c是常數

　　1．二次函數的概念：一般地，形如yax2bxc（a，的函數，叫做二次函數。這c可以為零．二次函數的定義域是全體實里需要強調：和一元二次方程類似，二次項系數a0，而b，數．

　　2.二次函數yax2bxc的結構特征：

　　⑴等號左邊是函數，右邊是關于自變量x的二次式，x的最高次數是2．b，c是常數，a是二次項系數，b是一次項系數，c是常數項．

　　⑵a，二、二次函數的基本形式

　　1.二次函數基本形式：yax2的性質：a的絕對值越大，拋物線的開口越小。

　　a的符號a0開口方向頂點坐標對稱軸向上00，00，性質x0時，y隨x的增大而增大；x0時，y隨y軸x的增大而減小；x0時，y有最小值0．x0時，y隨x的增大而減小；x0時，y隨a0向下y軸x的增大而增大；x0時，y有最大值0．

　　2.yax2c的性質：上加下減。

　　a的符號a0開口方向頂點坐標對稱軸向上c0，c0，性質x0時，y隨x的增大而增大；x0時，y隨y軸x的增大而減小；x0時，y有最小值c．x0時，y隨x的增大而減小；x0時，y隨a0向下y軸x的增大而增大；x0時，y有最大值c．

　　3.yaxh的性質：左加右減。

　　2a的符號a0開口方向頂點坐標對稱軸向上0h，0h，性質xh時，y隨x的增大而增大；xh時，y隨X=hx的增大而減小；xh時，y有最小值0．xh時，y隨x的增大而減小；xh時，y隨a02向下X=hx的增大而增大；xh時，y有最大值0．

　　4.yaxhk的性質：

　　a的符號開口方向頂點坐標對稱軸性質a0向上h，kh，kX=hxh時，y隨x的增大而增大；xh時，y隨x的增大而減小；xh時，y有最小值k．xh時，y隨x的增大而減小；xh時，y隨a0向下X=hx的增大而增大；xh時，y有最大值k．

　　三、二次函數圖象的平移

　　1.平移步驟：

　　方法一：

　　⑴將拋物線解析式轉化成頂點式yaxhk，確定其頂點坐標h，k；

　　⑵保持拋物線yax2的形狀不變，將其頂點平移到h，k處，具體平移方法如下：

　　向上(k>0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或左(h0)【或下(k

　　畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與y軸的交點.

　　六、二次函數yax2bxc的性質

　　b4acb2b1.當a0時，拋物線開口向上，對稱軸為x，頂點坐標為，．

　　2a4a2a當xbbb時，y隨x的增大而減小；當x時，y隨x的增大而增大；當x時，y有最小2a2a2a4acb2值．

　　4ab4acb2bb2.當a0時，拋物線開口向下，對稱軸為x，頂點坐標為，時，y隨．當x2a4a2a2a4acb2bb．x的增大而增大；當x時，y隨x的增大而減小；當x時，y有最大值

　　2a2a4a

　　七、二次函數解析式的表示方法

　　1.一般式：yax2bxc（a，b，c為常數，a0）；

　　2.頂點式：ya(xh)2k（a，h，k為常數，a0）；

　　3.兩根式：ya(xx1)(xx2)（a0，x1，x2是拋物線與x軸兩交點的橫坐標）.

　　注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與x軸有交點，即b24ac0時，拋物線的解析式才可以用交點式表示．二次函數解析式的這三種形式可以互化.

　　八、二次函數的圖象與各項系數之間的.關系

　　1.二次項系數a

　　二次函數yax2bxc中，a作為二次項系數，顯然a0．

　　⑴當a0時，拋物線開口向上，a的值越大，開口越小，反之a的值越小，開口越大；

　　⑵當a0時，拋物線開口向下，a的值越小，開口越小，反之a的值越大，開口越大．

　　總結起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，a的大小決定開口的大小．

　　2.一次項系數b

　　在二次項系數a確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸．

　　⑴在a0的前提下，當b0時，當b0時，當b0時，b0，即拋物線的對稱軸在y軸左側；2ab0，即拋物線的對稱軸就是y軸；2ab0，即拋物線對稱軸在y軸的右側．2a⑵在a0的前提下，結論剛好與上述相反，即當b0時，當b0時，當b0時，b0，即拋物線的對稱軸在y軸右側；2ab0，即拋物線的對稱軸就是y軸；2ab0，即拋物線對稱軸在y軸的左側．2a

　　總結起來，在a確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置．

　　ab的符號的判定：對稱軸xb在y軸左邊則ab0，在y軸的右側則ab0，概括的說就是“左同2a右異”總結：

　　3.常數項c

　　⑴當c0時，拋物線與y軸的交點在x軸上方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為正；

　　⑵當c0時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與y軸交點的縱坐標為0；

　　⑶當c0時，拋物線與y軸的交點在x軸下方，即拋物線與y軸交點的縱坐標為負．總結起來，c決定了拋物線與y軸交點的位置．

　　b，c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的．總之，只要a，二次函數解析式的確定：

　　根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法．用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，才能使解題簡便．一般來說，有如下幾種情況：

　　1.已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；

　　2.已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；

　　3.已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；

　　4.已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式．

　　九、二次函數圖象的對稱

　　二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達

　　1.關于x軸對稱

　　yax2bxc關于x軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc；

　　yaxhk關于x軸對稱后，得到的解析式是yaxhk；

　　2.關于y軸對稱

　　yax2bxc關于y軸對稱后，得到的解析式是yax2bxc；

　　22yaxhk關于y軸對稱后，得到的解析式是yaxhk；

　　3.關于原點對稱

　　yax2bxc關于原點對稱后，得到的解析式是yax2bxc；yaxhk關于原點對稱后，得到的解析式是yaxhk；

　　4.關于頂點對稱（即：拋物線繞頂點旋轉180°）

　　2222b2yaxbxc關于頂點對稱后，得到的解析式是yaxbxc；

　　2a22yaxhk關于頂點對稱后，得到的解析式是yaxhk．n對稱

　　5.關于點m，n對稱后，得到的解析式是yaxh2m2nkyaxhk關于點m，根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此a永遠不變．求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式．

　　十、二次函數與一元二次方程：

　　1.二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與x軸交點情況）：

　　一元二次方程ax2bxc0是二次函數yax2bxc當函數值y0時的特殊情況.圖象與x軸的交點個數：

　　①當b24ac0時，圖象與x軸交于兩點Ax1，0，Bx2，0(x1x2)，其中的x1，x2是一元二次

　　b24ac方程axbxc0a0的兩根．這兩點間的距離ABx2x1.

　　②當0時，圖象與x軸只有一個交點；

　　③當0時，圖象與x軸沒有交點.

　　1"當a0時，圖象落在x軸的上方，無論x為任何實數，都有y0；

　　2"當a0時，圖象落在x軸的下方，無論x為任何實數，都有y0．

　　2.拋物線yax2bxc的圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；

　　3.二次函數常用解題方法總結：

　　⑴求二次函數的圖象與x軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程；