高三數學排列教案

時間：2022-12-28 12:15:28 數學教案我要投稿

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高三數學排列教案

　　作為一名教師，就有可能用到教案，教案有利于教學水平的提高，有助于教研活動的開展。那么優秀的教案是什么樣的呢？以下是小編整理的高三數學排列教案，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。

高三數學排列教案

高三數學排列教案1

　　內容提要：本文把常見的排列問題歸納成三種典型問題，并在排列的一般規定性下，對每一種類型的問題通過典型例題歸納出相應的解決方案，并附以近年的高考原題及解析，使我們對排列問題的認識更深入本質，對排列問題的解決更有章法可尋。

　　關鍵詞：特殊優先，大元素，捆綁法，插空法，等機率法

　　排列問題的應用題是學生學習的難點，也是高考的必考內容，筆者在教學中嘗試將排列

　　問題歸納為三種類型來解決：

　　下面就每一種題型結合例題總結其特點和解法，并附以近年的高考原題供讀者參研。

　　一、能排不能排排列問題（即特殊元素在特殊位置上有特別要求的排列問題）

　　解決此類問題的關鍵是特殊元素或特殊位置優先。或使用間接法。

　　例1：（1）7位同學站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法？

　　（2）7位同學站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種？

　　（3）7位同學站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種？

　　（4）7位同學站成一排，其中甲不能在排頭、乙不能站排尾的排法共有多少種？

　　解析：

　　（1）先考慮甲站在中間有1種方法，再在余下的6個位置排另外6位同學，共種方法；

　　（2）先考慮甲、乙站在兩端的排法有種，再在余下的5個位置排另外5位同學的排法有種，共種方法；

　　（3）先考慮在除兩端外的5個位置選2個安排甲、乙有種，再在余下的5個位置排另外5位同學排法有種，共種方法；本題也可考慮特殊位置優先，即兩端的排法有，中間5個位置有種，共種方法；

　　（4）分兩類乙站在排頭和乙不站在排頭，乙站在排頭的排法共有種，乙不站在排頭的排法總數為：先在除甲、乙外的5人中選1人安排在排頭的方法有種，中間5個位置選1個安排乙的方法有，再在余下的5個位置排另外5位同學的排法有，故共有種方法；本題也可考慮間接法，總排法為，不符合條件的甲在排頭和乙站排尾的排法均為，但這兩種情況均包含了甲在排頭和乙站排尾的情況，故共有種。

　　例2。某天課表共六節課，要排政治、語文、數學、物理、化學、體育共六門課程，如果第一節不排體育，最后一節不排數學，共有多少種不同的排課方法？

　　解法1：對特殊元素數學和體育進行分類解決

　　（1）數學、體育均不排在第一節和第六節，有種，其他有種，共有種；

　　（2）數學排在第一節、體育排在第六節有一種，其他有種，共有種；

　　（3）數學排在第一節、體育不在第六節有種，其他有種，共有種；

　　（4）數學不排在第一節、體育排在第六節有種，其他有種，共有種；

　　所以符合條件的排法共有種

　　解法2：對特殊位置第一節和第六節進行分類解決

　　（1）第一節和第六節均不排數學、體育有種，其他有種，共有種；

　　（2）第一節排數學、第六節排體育有一種，其他有種，共有種；

　　（3）第一節排數學、第六節不排體育有種，其他有種，共有種；

　　（4）第一節不排數學、第六節排體育有種，其他有種，共有種；

　　所以符合條件的排法共有種。

　　解法3：本題也可采用間接排除法解決

　　不考慮任何限制條件共有種排法，不符合題目要求的排法有：（1）數學排在第六節有種；（2）體育排在第一節有種；考慮到這兩種情況均包含了數學排在第六節和體育排在第一節的情況種所以符合條件的排法共有種

　　附：

　　1、（20xx北京卷）五個工程隊承建某項工程的五個不同的子項目，每個工程隊承建1項，其中甲工程隊不能承建1號子項目，則不同的承建方案共有（）

　　（A）種（B）種（C）種（D）種

　　解析：本題在解答時將五個不同的子項目理解為5個位置，五個工程隊相當于5個不同的元素，這時問題可歸結為能排不能排排列問題（即特殊元素在特殊位置上有特別要求的排列問題），先排甲工程隊有，其它4個元素在4個位置上的排法為種，總方案為種。故選（B）。

　　2、（20xx全國卷Ⅱ）在由數字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復數字的四位數中，不能被5整除的數共有個。

　　解析：本題在解答時只須考慮個位和千位這兩個特殊位置的限制，個位為1、2、3、4中的某一個有4種方法，千位在余下的4個非0數中選擇也有4種方法，十位和百位方法數為種，故方法總數為種。

　　3、（20xx福建卷）從6人中選出4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有（）

　　A、300種 B、240種 C、144種 D、96種

　　解析：本題在解答時只須考慮巴黎這個特殊位置的要求有4種方法，其他3個城市的排法看作標有這3個城市的3個簽在5個位置（5個人）中的排列有種，故方法總數為種。故選（B）。

　　上述問題歸結為能排不能排排列問題，從特殊元素和特殊位置入手解決，抓住了問題的本質，使問題清晰明了，解決起來順暢自然。

　　二、相鄰不相鄰排列問題（即某兩或某些元素不能相鄰的排列問題）

　　相鄰排列問題一般采用大元素法，即將相鄰的元素捆綁作為一個元素，再與其他元素進行排列，解答時注意釋放大元素，也叫捆綁法。不相鄰排列問題（即某兩或某些元素不能相鄰的排列問題）一般采用插空法。

　　例3：7位同學站成一排，

　　（1）甲、乙和丙三同學必須相鄰的排法共有多少種？

　　（2）甲、乙和丙三名同學都不能相鄰的排法共有多少種？

　　（3）甲、乙兩同學間恰好間隔2人的排法共有多少種？

　　解析：

　　（1）第一步、將甲、乙和丙三人捆綁成一個大元素與另外4人的排列為種，

　　第二步、釋放大元素，即甲、乙和丙在捆綁成的大元素內的排法有種，所以共種；

　　（2）第一步、先排除甲、乙和丙之外4人共種方法，第二步、甲、乙和丙三人排在4人排好后產生的5個空擋中的任何3個都符合要求，排法有種，所以共有種；（3）先排甲、乙，有種排法，甲、乙兩人中間插入的2人是從其余5人中選，有種排法，將已經排好的4人當作一個大元素作為新人參加下一輪4人組的排列，有種排法，所以總的排法共有種。

　　附：1、（20xx遼寧卷）用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數字的八位數，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數共有個。（用數字作答）

　　解析：第一步、將1和2捆綁成一個大元素，3和4捆綁成一個大元素，5和6捆綁成一個大元素，第二步、排列這三個大元素，第三步、在這三個大元素排好后產生的4個空擋中的任何2個排列7和8，第四步、釋放每個大元素（即大元素內的每個小元素在捆綁成的大元素內部排列），所以共有個數。

　　2、（20xx。重慶理）某校高三年級舉行一次演講賽共有10位同學參賽，其中一班有3位，

　　二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學恰

　　好被排在一起（指演講序號相連），而二班的2位同學沒有被排在一起的概率為（）

　　A、B、C、D。

　　解析：符合要求的基本事件（排法）共有：第一步、將一班的3位同學捆綁成一個大元素，第二步、這個大元素與其它班的5位同學共6個元素的全排列，第三步、在這個大元素與其它班的5位同學共6個元素的全排列排好后產生的7個空擋中排列二班的2位同學，第四步、釋放一班的3位同學捆綁成的大元素，所以共有個；而基本事件總數為個，所以符合條件的概率為。故選（ B ）。

　　3、（20xx京春理）某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目。如果將這兩個節目插入原節目單中，那么不同插法的種數為（）

　　A、42 B、30 C、20 D、12

　　解析：分兩類：增加的兩個新節目不相鄰和相鄰，兩個新節目不相鄰采用插空法，在5個節目產生的6個空擋排列共有種，將兩個新節目捆綁作為一個元素叉入5個節目產生的6個空擋中的一個位置，再釋放兩個新節目捆綁成的大元素，共有種，再將兩類方法數相加得42種方法。故選（ A ）。

　　三、機會均等排列問題（即某兩或某些元素按特定的方式或順序排列的排列問題）

　　解決機會均等排列問題通常是先對所有元素進行全排列，再借助等可能轉化，即乘以符合要求的某兩（或某些）元素按特定的方式或順序排列的排法占它們（某兩（或某些）元素）全排列的比例，稱為等機率法或將特定順序的排列問題理解為組合問題加以解決。

　　例4、 7位同學站成一排。

　　（1）甲必須站在乙的左邊？

　　（2）甲、乙和丙三個同學由左到右排列？

　　解析：

　　（1）7位同學站成一排總的排法共種，包括甲、乙在內的7位同學排隊只有甲站在乙的左邊和甲站在乙的右邊兩類，它們的機會是均等的，故滿足要求的排法為，本題也可將特定順序的排列問題理解為組合問題加以解決，即先在7個位置中選出2個位置安排甲、乙，由于甲在乙的左邊共有種，再將其余5人在余下的5個位置排列有種，得排法數為種；

　　（2）參見（1）的分析得（或）。

　　本文通過較為清晰的脈絡把排列問題分為三種類型，使我們對排列問題有了比較系統的認識。但由于排列問題種類繁多，總會有些問題不能囊括其中，也一定存在許多不足，希望讀者能和我一起研究完善。

高三數學排列教案2

　　排列問題的應用題是學生學習的難點，也是高考的必考內容,筆者在教學中嘗試將排列問題歸納為三種類型來解決：

　　下面就每一種題型結合例題總結其特點和解法，并附以近年的高考原題供讀者參研.

　　一. 能排不能排排列問題(即特殊元素在特殊位置上有特別要求的排列問題)

　　解決此類問題的關鍵是特殊元素或特殊位置優先.或使用間接法.

　　例1.(1)7位同學站成一排，其中甲站在中間的位置，共有多少種不同的排法?

　　(2)7位同學站成一排，甲、乙只能站在兩端的排法共有多少種?

　　(3)7位同學站成一排，甲、乙不能站在排頭和排尾的排法共有多少種?

　　(4)7位同學站成一排，其中甲不能在排頭、乙不能站排尾的排法共有多少種?

　　解析:(1)先考慮甲站在中間有1種方法，再在余下的6個位置排另外6位同學，共種方法;

　　(2)先考慮甲、乙站在兩端的排法有種，再在余下的5個位置排另外5位同學的排法有種，共種方法;

　　(3) 先考慮在除兩端外的5個位置選2個安排甲、乙有種，再在余下的5個位置排另外5位同學排法有種，共種方法;本題也可考慮特殊位置優先,即兩端的排法有 ,中間5個位置有種，共種方法;

　　(4)分兩類乙站在排頭和乙不站在排頭，乙站在排頭的排法共有種，乙不站在排頭的排法總數為：先在除甲、乙外的5人中選1人安排在排頭的方法有種，中間5個位置選1個安排乙的方法有，再在余下的5個位置排另外5位同學的排法有，故共有種方法;本題也可考慮間接法，總排法為，不符合條件的甲在排頭和乙站排尾的排法均為，但這兩種情況均包含了甲在排頭和乙站排尾的情況，故共有種.

　　例2.某天課表共六節課，要排政治、語文、數學、物理、化學、體育共六門課程，如果第一節不排體育，最后一節不排數學，共有多少種不同的排課方法?

　　解法1：對特殊元素數學和體育進行分類解決

　　(1)數學、體育均不排在第一節和第六節，有種，其他有種，共有種;

　　(2)數學排在第一節、體育排在第六節有一種，其他有種，共有種;

　　(3)數學排在第一節、體育不在第六節有種，其他有種，共有種;

　　(4)數學不排在第一節、體育排在第六節有種，其他有種，共有種;

　　所以符合條件的排法共有種

　　解法2：對特殊位置第一節和第六節進行分類解決

　　(1)第一節和第六節均不排數學、體育有種，其他有種，共有種;

　　(2)第一節排數學、第六節排體育有一種，其他有種，共有種;

　　(3)第一節排數學、第六節不排體育有種，其他有種，共有種;

　　(4)第一節不排數學、第六節排體育有種，其他有種，共有種;

　　所以符合條件的排法共有種.

　　解法3：本題也可采用間接排除法解決

　　不考慮任何限制條件共有種排法，不符合題目要求的排法有：(1)數學排在第六節有種;(2)體育排在第一節有種;考慮到這兩種情況均包含了數學排在第六節和體育排在第一節的情況種所以符合條件的排法共有種

　　附：1、(20xx北京卷)五個工程隊承建某項工程的五個不同的子項目，每個工程隊承建1項，其中甲工程隊不能承建1號子項目，則不同的承建方案共有( )

　　(A) 種 (B) 種 (C) 種 (D) 種

　　解析：本題在解答時將五個不同的子項目理解為5個位置，五個工程隊相當于5個不同的元素，這時問題可歸結為能排不能排排列問題(即特殊元素在特殊位置上有特別要求的排列問題)，先排甲工程隊有，其它4個元素在4個位置上的排法為種，總方案為種.故選(B).

　　2、(20xx全國卷Ⅱ)在由數字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復數字的四位數中，不能被5整除的數共有個.

　　解析：本題在解答時只須考慮個位和千位這兩個特殊位置的限制，個位為1、2、3、4中的某一個有4種方法，千位在余下的4個非0數中選擇也有4種方法，十位和百位方法數為種，故方法總數為種.

　　3、(20xx福建卷)從6人中選出4人分別到巴黎、倫敦、悉尼、莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲、乙兩人不去巴黎游覽，則不同的選擇方案共有 ( )

　　A.300種 B.240種 C.144種 D.96種

　　解析：本題在解答時只須考慮巴黎這個特殊位置的要求有4種方法，其他3個城市的排法看作標有這3個城市的3個簽在5個位置(5個人)中的排列有種，故方法總數為種.故選(B).

　　上述問題歸結為能排不能排排列問題，從特殊元素和特殊位置入手解決,抓住了問題的本質，使問題清晰明了，解決起來順暢自然.

　　二.相鄰不相鄰排列問題(即某兩或某些元素不能相鄰的排列問題)

　　相鄰排列問題一般采用大元素法,即將相鄰的元素捆綁作為一個元素，再與其他元素進行排列，解答時注意釋放大元素，也叫捆綁法.不相鄰排列問題(即某兩或某些元素不能相鄰的排列問題)一般采用插空法.

　　例3. 7位同學站成一排，

　　(1)甲、乙和丙三同學必須相鄰的排法共有多少種?

　　(2)甲、乙和丙三名同學都不能相鄰的排法共有多少種?

　　(3)甲、乙兩同學間恰好間隔2人的排法共有多少種?

　　解析：(1)第一步、將甲、乙和丙三人捆綁成一個大元素與另外4人的排列為種，

　　第二步、釋放大元素，即甲、乙和丙在捆綁成的大元素內的排法有種，所以共種;

　　(2)第一步、先排除甲、乙和丙之外4人共種方法，第二步、甲、乙和丙三人排在4人排好后產生的5個空擋中的任何3個都符合要求，排法有種，所以共有種;(3)先排甲、乙，有種排法，甲、乙兩人中間插入的2人是從其余5人中選，有種排法，將已經排好的4人當作一個大元素作為新人參加下一輪4人組的排列，有種排法，所以總的排法共有種.

　　附：1、(20xx遼寧卷)用1、2、3、4、5、6、7、8組成沒有重復數字的八位數，要求1和2相鄰，3與4相鄰，5與6相鄰，而7與8不相鄰，這樣的八位數共有個.(用數字作答)

　　解析：第一步、將1和2捆綁成一個大元素，3和4捆綁成一個大元素，5和6捆綁成一個大元素，第二步、排列這三個大元素，第三步、在這三個大元素排好后產生的4個空擋中的任何2個排列7和8，第四步、釋放每個大元素(即大元素內的每個小元素在捆綁成的大元素內部排列)，所以共有個數.

　　2、 (20xx. 重慶理)某校高三年級舉行一次演講賽共有10位同學參賽，其中一班有3位，

　　二班有2位，其它班有5位，若采用抽簽的方式確定他們的演講順序，則一班有3位同學恰

　　好被排在一起(指演講序號相連)，而二班的2位同學沒有被排在一起的概率為 ( )

　　A. B. C. D.

　　解析：符合要求的基本事件(排法)共有：第一步、將一班的3位同學捆綁成一個大元素，第二步、這個大元素與其它班的5位同學共6個元素的全排列，第三步、在這個大元素與其它班的5位同學共6個元素的全排列排好后產生的7個空擋中排列二班的2位同學，第四步、釋放一班的3位同學捆綁成的大元素，所以共有個;而基本事件總數為個，所以符合條件的概率為 .故選( B ).

　　3、(20xx京春理)某班新年聯歡會原定的5個節目已排成節目單，開演前又增加了兩個新節目.如果將這兩個節目插入原節目單中，那么不同插法的種數為( )

　　A.42 B.30 C.20 D.12

　　解析：分兩類：增加的兩個新節目不相鄰和相鄰，兩個新節目不相鄰采用插空法，在5個節目產生的6個空擋排列共有種，將兩個新節目捆綁作為一個元素叉入5個節目產生的6個空擋中的一個位置，再釋放兩個新節目捆綁成的大元素，共有種，再將兩類方法數相加得42種方法.故選( A ).

　　三.機會均等排列問題(即某兩或某些元素按特定的方式或順序排列的排列問題)

　　解決機會均等排列問題通常是先對所有元素進行全排列,再借助等可能轉化，即乘以符合要求的某兩(或某些)元素按特定的方式或順序排列的排法占它們(某兩(或某些)元素)全排列的比例，稱為等機率法或將特定順序的排列問題理解為組合問題加以解決.

　　例4、 7位同學站成一排.

　　(1)甲必須站在乙的左邊?

　　(2)甲、乙和丙三個同學由左到右排列?

　　解析：(1)7位同學站成一排總的排法共種,包括甲、乙在內的7位同學排隊只有甲站在乙的左邊和甲站在乙的右邊兩類，它們的機會是均等的，故滿足要求的排法為，本題也可將特定順序的排列問題理解為組合問題加以解決，即先在7個位置中選出2個位置安排甲、乙, 由于甲在乙的左邊共有種，再將其余5人在余下的5個位置排列有種，得排法數為種;

　　(2)參見(1)的分析得 (或 ).

高三數學排列教案3

　　教學目標

　　（1）正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列；

　　（2）了解排列和排列數的意義，能根據具體的問題，寫出符合要求的排列；

　　（3）會分析與數字有關的排列問題，培養學生的抽象能力和邏輯思維能力；

　　教學重點難點

　　重點是排列的定義、排列數并運用這個公式去解決有關排列數的應用問題。

　　難點是解有關排列的應用題。

　　教學過程設計

　　一、復習引入

　　上節課我們學習了兩個基本原理，請大家完成以下兩題的練習（用投影儀出示）：

　　1、書架上層放著50本不同的社會科學書，下層放著40本不同的自然科學的書。

　　（1）從中任取1本，有多少種取法？

　　（2）從中任取社會科學書與自然科學書各1本，有多少種不同的取法？

　　2、某農場為了考察三個外地優良品種A，B，C，計劃在甲、乙、丙、丁、戊共五種類型的土地上分別進行引種試驗，問共需安排多少個試驗小區？

　　找一同學談解答并說明怎樣思考的的過程

　　第1（1）小題從書架上任取1本書，有兩類辦法，第一類辦法是從上層取社會科學書，可以從50本中任取1本，有50種方法；第二類辦法是從下層取自然科學書，可以從40本中任取1本，有40種方法。根據加法原理，得到不同的取法種數是50+40=90。第（2）小題從書架上取社會科學、自然科學書各1本（共取出2本），可以分兩個步驟完成：第一步取一本社會科學書，第二步取一本自然科學書，根據乘法原理，得到不同的取法種數是：50×40=20xx。

　　第2題說，共有A，B，C三個優良品種，而每個品種在甲類型土地上實驗有三個小區，在乙類型的土地上有三個小區……所以共需3×5=15個實驗小區。

　　二、講授新課

　　學習了兩個基本原理之后，現在我們繼續學習排列問題，這是我們本節討論的重點。先從實例入手：

　　1、北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航線，需要準備多少種不同飛機票？

　　由學生設計好方案并回答。

　　（1）用加法原理設計方案。

　　首先確定起點站，如果北京是起點站，終點站是上海或廣州，需要制2種飛機票，若起點站是上海，終點站是北京或廣州，又需制2種飛機票；若起點站是廣州，終點站是北京或上海，又需要2種飛機票，共需要2+2+2=6種飛機票。

　　（2）用乘法原理設計方案。

　　首先確定起點站，在三個站中，任選一個站為起點站，有3種方法。即北京、上海、廣泛任意一個城市為起點站，當選定起點站后，再確定終點站，由于已經選了起點站，終點站只能在其余兩個站去選。那么，根據乘法原理，在三個民航站中，每次取兩個，按起點站在前、終點站在后的順序排列不同方法共有3×2=6種。

　　根據以上分析由學生（板演）寫出所有種飛機票

　　再看一個實例。

　　在航海中，船艦常以“旗語”相互聯系，即利用不同顏色的旗子發送出各種不同的信號。如有紅、黃、綠三面不同顏色的旗子，按一定順序同時升起表示一定的信號，問這樣總共可以表示出多少種不同的信號？

　　找學生談自己對這個問題的想法。

　　事實上，紅、黃、綠三面旗子按一定順序的一個排法表示一種信號，所以不同顏色的同時升起可以表示出來的信號種數，也就是紅、黃、綠這三面旗子的所有不同順序的排法總數。

　　首先，先確定最高位置的旗子，在紅、黃、綠這三面旗子中任取一個，有3種方法；

　　其次，確定中間位置的旗子，當最高位置確定之后，中間位置的旗子只能從余下的兩面旗中去取，有2種方法。剩下那面旗子，放在最低位置。

　　根據乘法原理，用紅、黃、綠這三面旗子同時升起表示出所有信號種數是：3×2×1=6（種）。

　　根據學生的分析，由另外的同學（板演）寫出三面旗子同時升起表示信號的所有情況。（包括每個位置情況）

　　第三個實例，讓全體學生都參加設計，把所有情況（包括每個位置情況）寫出來。

　　由數字1，2，3，4可以組成多少個沒有重復數字的三位數？寫出這些所有的三位數。

　　根據乘法原理，從四個不同的數字中，每次取出三個排成三位數的方法共有4×3×2=24（個）。

　　請板演的學生談談怎樣想的？

　　第一步，先確定百位上的數字。在1，2，3，4這四個數字中任取一個，有4種取法。

　　第二步，確定十位上的數字。當百位上的數字確定以后，十位上的數字只能從余下的三個數字去取，有3種方法。

　　第三步，確定個位上的數字。當百位、十位上的數字都確定以后，個位上的數字只能從余下的兩個數字中去取，有2種方法。

　　根據乘法原理，所以共有4×3×2=24種。

　　下面由教師提問，學生回答下列問題

　　（1）以上我們討論了三個實例，這三個問題有什么共同的地方？

　　都是從一些研究的.對象之中取出某些研究的對象。

　　（2）取出的這些研究對象又做些什么？

　　實質上按著順序排成一排，交換不同的位置就是不同的情況。

　　（3）請大家看書，第×頁、第×行。我們把被取的對象叫做雙元素，如上面問題中的民航站、旗子、數字都是元素。

　　上面第一個問題就是從3個不同的元素中，任取2個，然后按一定順序排成一列，求一共有多少種不同的排法，后來又寫出所有排法。

　　第二個問題，就是從3個不同元素中，取出3個，然后按一定順序排成一列，求一共有多少排法和寫出所有排法。

　　第三個問題呢？

　　從4個不同的元素中，任取3個，然后按一定的順序排成一列，求一共有多少種不同的排法，并寫出所有的排法。

　　給出排列定義

　　請看課本，第×頁，第×行。一般地說，從n個不同的元素中，任取m（m≤n）個元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情況），按著一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。

　　下面由教師提問，學生回答下列問題

　　（1）按著這個定義，結合上面的問題，請同學們談談什么是相同的排列？什么是不同的排列？

　　從排列的定義知道，如果兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序（即元素所在的位置）也必須相同。兩個條件中，只要有一個條件不符合，就是不同的排列。

　　如第一個問題中，北京?廣州，上海?廣州是兩個排列，第三個問題中，213與423也是兩個排列。

　　再如第一個問題中，北京?廣州，廣州?北京；第二個問題中，紅黃綠與紅綠黃；第三個問題中231和213雖然元素完全相同，但排列順序不同，也是兩個排列。

　　（2）還需要搞清楚一個問題，“一個排列”是不是一個數？

　　生：“一個排列”不應當是一個數，而應當指一件具體的事。如飛機票“北京?廣州”是一個排列，“紅黃綠”是一種信號，也是一個排列。如果問飛機票有多少種？能表示出多少種信號。只問種數，不用把所有情況羅列出來，才是一個數。前面提到的第三個問題，實質上也是這樣的。

　　三、課堂練習

　　大家思考，下面的排列問題怎樣解？

　　有四張卡片，每張分別寫著數碼1，2，3，4。有四個空箱，分別寫著號碼1，2，3，4。把卡片放到空箱內，每箱必須并且只能放一張，而且卡片數碼與箱子號碼必須不一致，問有多少種放法？（用投影儀示出）

　　分析：這是從四張卡片中取出4張，分別放在四個位置上，只要交換卡片位置，就是不同的放法，是個附有條件的排列問題。

　　解法是：第一步把數碼卡片四張中2，3，4三張任選一個放在第1空箱。

　　第二步從余下的三張卡片中任選符合條件的一張放在第2空箱。

　　第三步從余下的兩張卡片中任選符合條件的一張放在第3空箱。

　　第四步把最后符合條件的一張放在第四空箱。具體排法，用下面圖表表示：

　　所以，共有9種放法。

　　四、作業

　　課本：P232練習1，2，3，4，5，6，7。

高三數學排列教案4

　　教學目標

　　（1）正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列；

　　（2）了解排列和排列數的意義，能根據具體的問題，寫出符合要求的排列；

　　（3）掌握排列數公式，并能根據具體的問題，寫出符合要求的排列數；

　　（4）會分析與數字有關的排列問題，培養學生的抽象能力和邏輯思維能力；

　　（5）通過對排列應用問題的學習，讓學生通過對具體事例的觀察、歸納中找出規律，得出結論，以培養學生嚴謹的學習態度。

　　教學建議

　　一、知識結構

　　二、重點難點分析

　　本小節的重點是排列的定義、排列數及排列數的公式，并運用這個公式去解決有關排列數的應用問題。難點是導出排列數的公式和解有關排列的應用題。突破重點、難點的關鍵是對加法原理和乘法原理的掌握和運用，并將這兩個原理的基本思想方法貫穿在解決排列應用問題當中。

　　從n個不同元素中任取m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，稱為從n個不同元素中任取m個元素的一個排列。因此，兩個相同排列，當且僅當他們的元素完全相同，并且元素的排列順序也完全相同。排列數是指從n個不同元素中任取m（m≤n）個元素的所有不同排列的種數，只要弄清相同排列、不同排列，才有可能計算相應的排列數。排列與排列數是兩個概念，前者是具有m個元素的排列，后者是這種排列的不同種數。從集合的角度看，從n個元素的有限集中取出m個組成的有序集，相當于一個排列，而這種有序集的個數，就是相應的排列數。

　　公式推導要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來講解。要重點分析好的推導。

　　排列的應用題是本節教材的難點，通過本節例題的分析，應注意培養學生解決應用問題的能力。

　　在分析應用題的解法時，教材上先畫出框圖，然后分析逐次填入時的種數，這樣解釋比較直觀，教學上要充分利用，要求學生作題時也應盡量采用。

　　在教學排列應用題時，開始應要求學生寫解法要有簡要的文字說明，防止單純的只寫一個排列數，這樣可以培養學生的分析問題的能力，在基本掌握之后，可以逐漸地不作這方面的要求。

　　三、教法建議

　　①在講解排列數的概念時，要注意區分“排列數”與“一個排列”這兩個概念。一個排列是指“從 n 個不同元素中，任取出 m 個元素，按照一定的順序擺成一排”，它不是一個數，而是具體的一件事；排列數是指“從 n 個不同元素中取出 m 個元素的所有排列的個數”，它是一個數。例如，從3個元素 a ， b ， c 中每次取出2個元素，按照一定的順序排成一排，有如下幾種：

　　ab ， ac ， ba ， bc ， ca ， cb ，

　　其中每一種都叫一個排列，共有6種，而數字6就是排列數，符號表示排列數。

　　②排列的定義中包含兩個基本內容，一是“取出元素”，二是“按一定順序排列”。

　　從定義知，只有當元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列。

　　在定義中“一定順序”就是說與位置有關，在實際問題中，要由具體問題的性質和條件來決定，這一點要特別注意，這也是與后面學習的組合的根本區別。

　　在排列的定義中，如果有的書上叫選排列，如果，此時叫全排列。

　　要特別注意，不加特殊說明，本章不研究重復排列問題。

　　③關于排列數公式的推導的教學。公式推導要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來講解。課本上用的是不完全歸納法，先推導，，…，再推廣到，這樣由特殊到一般，由具體到抽象的講法，學生是不難理解的。

　　導出公式后要分析這個公式的構成特點，以便幫助學生正確地記憶公式，防止學生在“ n ”、“ m ”比較復雜的時候把公式寫錯。這個公式的特點可見課本第229頁的一段話：“其中，公式右邊第一個因數是 n ，后面每個因數都比它前面一個因數少1，最后一個因數是，共 m 個因數相乘。”這實際是講三個特點：第一個因數是什么？最后一個因數是什么？一共有多少個連續的自然數相乘。

　　公式是在引出全排列數公式后，將排列數公式變形后得到的公式。對這個公式指出兩點：

　　（1）在一般情況下，要計算具體的排列數的值，常用前一個公式，而要對含有字母的排列數的式子進行變形或作有關的論證，要用到這個公式，教材中第230頁例2就是用這個公式證明的問題；

　　（2）為使這個公式在時也能成立，規定，如同時一樣，是一種規定，因此，不能按階乘數的原意作解釋。

　　④建議應充分利用樹形圖對問題進行分析，這樣比較直觀，便于理解。

　　⑤學生在開始做排列應用題的作業時，應要求他們寫出解法的簡要說明，而不能只列出算式、得出答數，這樣有利于學生得更加扎實。隨著學生解題熟練程度的提高，可以逐步降低這種要求。

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