圓柱和圓錐教案
圓柱和圓錐教案
本單元是在認(rèn)識(shí)了圓，掌握了長(zhǎng)方體、正方體的特征以及表面積與體積計(jì)算方法的基礎(chǔ)上編排的。圓柱與圓錐都是基本的幾何形體，也是生產(chǎn)、生活中經(jīng)常遇到的幾何形體。教學(xué)圓柱和圓錐擴(kuò)大了學(xué)生認(rèn)識(shí)形體的范圍，增加了形體的知識(shí)，有利于進(jìn)一步發(fā)展空間觀念。
全單元編排五道例題、四個(gè)練習(xí)，把內(nèi)容分成四段教學(xué)。依次是圓柱與圓錐的特征、圓柱的表面積、圓柱的體積、圓錐的體積。在單元結(jié)束時(shí)，還安排了整理與練習(xí)以及實(shí)踐活動(dòng)《測(cè)量物體的體積》。
1．通過(guò)觀察、操作，認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐。
學(xué)生在第一學(xué)段已經(jīng)直觀認(rèn)識(shí)了圓柱，通過(guò)滾一滾、堆一堆、摸一摸等活動(dòng)初步感受了圓柱的形狀與長(zhǎng)方體、正方體有不同之處。例1先教學(xué)認(rèn)識(shí)圓柱，再教學(xué)認(rèn)識(shí)圓錐，要讓學(xué)生從整體上體會(huì)它們的特征，了解圍成圓柱或圓錐的各個(gè)面，認(rèn)識(shí)圓柱和圓錐的高，并會(huì)測(cè)量高。
教學(xué)圓柱從識(shí)別圓柱形的物體開(kāi)始，因?yàn)閷W(xué)生已有這樣的能力。例1的圖片里，有些物體是圓柱形的，有些物體的一部分是圓柱形的，也有些物體不是圓柱形的。而且，在圓柱形的物體中，有的高，有的矮，有的厚，有的薄，這就為認(rèn)識(shí)圓柱提供了豐富的具體對(duì)象。
認(rèn)識(shí)圓柱的教學(xué)要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行觀察、交流，同時(shí)教師要給予必要的講解。讓學(xué)生仔細(xì)觀察圓柱，發(fā)現(xiàn)圓柱的上、下兩個(gè)面是相同的圓形，圓柱的側(cè)面是曲面，而且圓柱上下是一樣粗的。前兩點(diǎn)學(xué)生容易注意到，第三點(diǎn)往往會(huì)疏忽，在交流的時(shí)候，要引起學(xué)生的注意。在“練一練”里，教材安排了上、下兩個(gè)底面大小不同的杯子和木桶，兩個(gè)底面雖然相同但兩底之間粗細(xì)不同的腰鼓，還有底面是正六邊形的盒子，讓學(xué)生指出這些物體都不是圓柱形，從而加強(qiáng)對(duì)圓柱特征的體驗(yàn)。在學(xué)生交流圓柱特征的過(guò)程中，教師可相機(jī)指出圓柱上、下兩個(gè)面叫做底面，圍成圓柱的曲面叫做側(cè)面，及時(shí)出現(xiàn)圓柱的幾何圖形，在圖形上標(biāo)出圓柱的底面和側(cè)面，這是建立圓柱概念的重要一步。同時(shí)指出圓柱兩個(gè)底面之間的距離叫做高，并在圓柱的幾何圖形上標(biāo)出高，既直觀地表達(dá)高的意義，又能使學(xué)生想到測(cè)量圓柱高的方法。
例題引導(dǎo)學(xué)生把認(rèn)識(shí)圓柱的學(xué)習(xí)方法遷移到認(rèn)識(shí)圓錐上來(lái)，在觀察圓錐形物體的基礎(chǔ)上抽象出圓錐的幾何圖形，在交流圓錐特征的過(guò)程中認(rèn)識(shí)圓錐的頂點(diǎn)、底面和側(cè)面。圓錐的高是教學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，因?yàn)閳A錐的高是圓錐內(nèi)部的一條線段的長(zhǎng)。教材指出從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離是圓錐的高，并在圓錐的幾何圖形上用虛線畫(huà)出頂點(diǎn)到底面圓心的線段，幫助學(xué)生理解圓錐高的含義。
練習(xí)五的設(shè)計(jì)重視空間觀念的培養(yǎng)，都是動(dòng)手操作的習(xí)題。第2題從正面、上面、側(cè)面觀察圓柱和圓錐，通過(guò)立體圖形與平面圖形、曲面與平面的相應(yīng)轉(zhuǎn)化，加強(qiáng)對(duì)圓柱、圓錐特征的體驗(yàn)，發(fā)展空間觀念。第3題把長(zhǎng)方形繞它的一條邊旋轉(zhuǎn)形成圓柱，把直角三角形繞它的一條直角邊旋轉(zhuǎn)形成圓錐，把半圓繞它的直徑旋轉(zhuǎn)形成球，讓學(xué)生在動(dòng)態(tài)中感受這些幾何體，使已有的圓柱、圓錐概念得到深化。第5題利用教材附頁(yè)里的圖形做圓柱和圓錐，體會(huì)圓柱的側(cè)面是長(zhǎng)方形卷成的，圓錐的側(cè)面是扇形卷成的，再次經(jīng)歷平面圖形變成立體的過(guò)程。同時(shí)，做成一個(gè)圓柱要兩個(gè)相同的圓，做成一個(gè)圓錐只要一個(gè)圓，再次體會(huì)圓柱與圓錐的特征。測(cè)量做成的圓柱、圓錐的底面直徑和高，能鞏固高的概念，培養(yǎng)測(cè)量能力。計(jì)算圓柱、圓錐的底面周長(zhǎng)和底面積，復(fù)習(xí)了圓的知識(shí)，為繼續(xù)教學(xué)圓柱的表面積，圓柱和圓錐的體積做好準(zhǔn)備。
2．在現(xiàn)實(shí)的情境中，探索圓柱表面積的計(jì)算方法。
圓柱的表面積是它的側(cè)面積與兩個(gè)底面面積的和，其中側(cè)面積是新知識(shí)，底面積是舊知識(shí)。為此，教材先在例2里教學(xué)圓柱的側(cè)面積，再在例3里教學(xué)圓柱的表面積。
例2計(jì)算圓柱形罐頭盒側(cè)面的商標(biāo)紙的面積，這個(gè)素材容易引發(fā)把商標(biāo)紙剪開(kāi)后看看、算算等教學(xué)活動(dòng)。教材指導(dǎo)學(xué)生“沿著接縫剪開(kāi)”，經(jīng)歷展開(kāi)商標(biāo)紙的活動(dòng)，體會(huì)圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)長(zhǎng)方形。探索圓柱側(cè)面積的計(jì)算方法，要研究展開(kāi)后長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬與圓柱的關(guān)系，讓學(xué)生在側(cè)面展開(kāi)成長(zhǎng)方形和長(zhǎng)方形卷成側(cè)面的活動(dòng)中，發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)等于圓柱的底面周長(zhǎng)，長(zhǎng)方形的寬等于圓柱的高。從長(zhǎng)方形的面積計(jì)算公式，推導(dǎo)出圓柱側(cè)面積的計(jì)算方法。在探索圓柱側(cè)面積算法的過(guò)程中，學(xué)生把曲面轉(zhuǎn)化成平面，開(kāi)展了一系列的推理活動(dòng)，空間觀念和思維能力能夠得到鍛煉。
例3教學(xué)圓柱的表面積。教材先讓學(xué)生思考底面直徑2厘米、高2厘米的圓柱側(cè)面沿高展開(kāi)，得到的長(zhǎng)方形長(zhǎng)和寬各是多少厘米，兩個(gè)底面是多大的圓，再在方格紙上畫(huà)出這個(gè)圓柱的展開(kāi)圖。思考的過(guò)程能幫助正確地畫(huà)圖，畫(huà)圖則有助于體會(huì)表面積的含義。“側(cè)面積與兩個(gè)底面積的和”既是表面積的概念，也是計(jì)算表面積的方法。和長(zhǎng)方體、正方體的表面積計(jì)算一樣，圓柱的表面積計(jì)算不列出公式，讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上掌握算法，避免了記憶公式的負(fù)擔(dān)。由于圓柱的側(cè)面積已在例2教學(xué)，計(jì)算底面積是舊知識(shí)，因此例3組織學(xué)生討論算法并獨(dú)立計(jì)算。
練習(xí)六應(yīng)用圓柱側(cè)面積、表面積的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。第1、2題的練習(xí)重點(diǎn)是把實(shí)際問(wèn)題抽象成數(shù)學(xué)問(wèn)題，求隊(duì)鼓的鋁皮面積就是計(jì)算圓柱的側(cè)面積，求隊(duì)鼓的羊皮面積是計(jì)算圓柱的兩個(gè)底面積之和，求做一個(gè)鐵桶用的鐵皮是計(jì)算圓柱的表面積。第3題有整理知識(shí)的作用，通過(guò)計(jì)算既能區(qū)分圓柱的側(cè)面積、底面積、表面積這三個(gè)不同的概念以及不同的算法，又能整理三者的關(guān)系，進(jìn)一步理解表面積的意義和計(jì)算方法。第4~9題是靈活應(yīng)用圓柱側(cè)面積、表面積的知識(shí)，要聯(lián)系實(shí)際判斷所求問(wèn)題需不需要計(jì)算底面積，要算幾個(gè)底面積。
3．通過(guò)猜想—驗(yàn)證探索圓柱、圓錐的體積公式。
例4教學(xué)圓柱的體積計(jì)算，分兩步進(jìn)行。第一步認(rèn)識(shí)底面積相等、高也相等（以下簡(jiǎn)稱(chēng)等底等高）的長(zhǎng)方體、正方體和圓柱，第二步推導(dǎo)圓柱的體積公式。安排第一步教學(xué)要達(dá)到三個(gè)目的，一是認(rèn)識(shí)等底等高的含義，便于判斷圓柱可以轉(zhuǎn)化成與它等底等高的長(zhǎng)方體。二是從長(zhǎng)方體與正方體等底等高，體積也相等的事實(shí)，引發(fā)等底等高的圓柱與長(zhǎng)方體的體積也相等的猜想，形成把圓柱轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體的活動(dòng)心向。三是復(fù)習(xí)長(zhǎng)方體、正方體的體積公式，圓柱的體積最終也要這樣計(jì)算。這些目的要在思考和討論例題中第（1）、（2）兩個(gè)問(wèn)題時(shí)實(shí)現(xiàn)。第二步的教學(xué)主要設(shè)計(jì)了三個(gè)活動(dòng)。第一，在形成把圓柱轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體的探索思路后，展示轉(zhuǎn)化活動(dòng)。學(xué)生可以看教材里的插圖，也可以通過(guò)操作學(xué)具，明確轉(zhuǎn)化的方法與過(guò)程。第二，讓學(xué)生明白，把圓柱的底面平均分成16份，切開(kāi)后拼成的是一個(gè)近似于長(zhǎng)方體的物體。如果圓柱的底面平均分的份數(shù)越多，切開(kāi)后拼成的物體越接近長(zhǎng)方體，滲透極限思想，發(fā)展想像能力。第三，讓學(xué)生思考拼成的長(zhǎng)方體與原來(lái)圓柱的關(guān)系，體會(huì)圓柱轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方體，體積不變，底面積不變、高也沒(méi)有變。用“底面積乘高”算得的既是轉(zhuǎn)化成的長(zhǎng)方體的體積，也是原來(lái)圓柱的體積。這是形成圓柱體積公式的推理活動(dòng)。
例5教學(xué)圓錐的體積公式。教材首先出示等底等高的圓柱和圓錐，讓學(xué)生直觀估計(jì)圓錐的體積是圓柱的幾分之幾。進(jìn)行這個(gè)估計(jì)是形成一個(gè)猜想，如果等底等高的圓柱和圓錐的體積之間存在確定的倍數(shù)關(guān)系，就可以利用圓柱的體積計(jì)算圓錐的體積。然后驗(yàn)證估計(jì)，探索等底等高的圓柱和圓錐的體積關(guān)系。例題把驗(yàn)證活動(dòng)分三步進(jìn)行。第一步指導(dǎo)學(xué)生選擇實(shí)驗(yàn)器具：等底等高的圓柱形容器和圓錐形容器。左圖把圓錐形容器放到圓柱形容器的上面，容易比出底面積是否相等。右圖把圓柱形容器和圓錐形容器靠近著放在同一桌面上，容易比出高是否相等。第二步指導(dǎo)倒沙活動(dòng)：在圓錐形容器里裝滿(mǎn)沙子，倒入圓柱形容器。從“3次正好倒?jié)M”證實(shí)圓柱形容器的容積是等底等高的圓錐形容器的3倍，也就是圓錐體積是等底等高的圓柱的1/3。第三步進(jìn)行推理，把實(shí)驗(yàn)的結(jié)論用數(shù)學(xué)式子表示，最終得出圓錐的體積公式。
猜想—驗(yàn)證是發(fā)現(xiàn)規(guī)律、創(chuàng)新知識(shí)的常用策略，教材從教學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)和學(xué)生的實(shí)際能力出發(fā)，把圓柱和圓錐體積公式的教學(xué)設(shè)計(jì)成鼓勵(lì)猜想—引導(dǎo)驗(yàn)證的過(guò)程，有利于培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力和科學(xué)態(tài)度。
練習(xí)七和練習(xí)八里應(yīng)用圓柱、圓錐的體積計(jì)算知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題。計(jì)算圓柱的表面積，計(jì)算圓柱和圓錐的體積都要進(jìn)行乘法計(jì)算。從過(guò)去的教學(xué)中我們發(fā)現(xiàn)，這一單元的計(jì)算學(xué)生經(jīng)常出現(xiàn)錯(cuò)誤。對(duì)此，教學(xué)應(yīng)采取三點(diǎn)措施：一是營(yíng)造良好的計(jì)算氛圍，每次作業(yè)的題量不宜過(guò)多，給學(xué)生的時(shí)間要充分，在心理負(fù)擔(dān)較輕的狀態(tài)下能減少計(jì)算錯(cuò)誤。保持安靜，在無(wú)干擾的環(huán)境中專(zhuān)心計(jì)算也能減少錯(cuò)誤。二是較繁的計(jì)算使用計(jì)算器，通常情況下，三位數(shù)乘一位數(shù)、三位數(shù)乘兩位數(shù)可以采用筆算，位數(shù)更多的數(shù)的乘法計(jì)算可以用計(jì)算器。如果讓學(xué)生進(jìn)行過(guò)繁的四則計(jì)算，不僅容易出錯(cuò)，而且消耗了大量的精力和時(shí)間，沒(méi)有必要。三是指導(dǎo)簡(jiǎn)便計(jì)算，在半徑（或直徑）的長(zhǎng)度數(shù)是5、15、25，高的長(zhǎng)度數(shù)是2、4、8時(shí)，經(jīng)常可以應(yīng)用乘法運(yùn)算律使計(jì)算簡(jiǎn)便。
4．測(cè)量形狀不規(guī)則的物體的體積。
長(zhǎng)方體、正方體、圓柱和圓錐的體積都有計(jì)算公式，生活中還有大量不是這些形狀的物體，它們的體積怎樣測(cè)量呢？實(shí)踐活動(dòng)《測(cè)量物體的體積》引導(dǎo)學(xué)生研究這個(gè)問(wèn)題。
把土豆或鐵塊放入盛水的圓柱形容器里進(jìn)行測(cè)量是一種方法，這種方法把不規(guī)則形體轉(zhuǎn)化成規(guī)則形體，利用計(jì)算圓柱體積的方法解決了問(wèn)題。通過(guò)質(zhì)量除以比重（質(zhì)量和體積的比值）求體積也是一種方法，這種方法不依賴(lài)體積計(jì)算公式。教材沒(méi)有把兩種方法直接告訴學(xué)生，而是安排操作活動(dòng)，讓學(xué)生在活動(dòng)過(guò)程中想到和理解這些方法。對(duì)于第一種方法，要依次測(cè)量圓柱容器的底面積、放入土豆前的水面高度和放入土豆后的水面高度，直觀體會(huì)容器中水面上升所形成的那段圓柱的體積就是土豆的體積，感悟“等積變形”的轉(zhuǎn)化思想。利用這種方法測(cè)量土豆的體積以后，還要再測(cè)量?jī)蓚�(gè)鐵塊的體積，為第二種測(cè)量方法積累數(shù)據(jù)資料。對(duì)于第二種方法，兩個(gè)鐵塊的體積已經(jīng)測(cè)得，再用天平稱(chēng)出它們的質(zhì)量就能填表。通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)一個(gè)鐵塊的質(zhì)量與體積的比值和另一個(gè)鐵塊的質(zhì)量與體積的比值相等。如果測(cè)量和計(jì)算都正確，這個(gè)比值應(yīng)該約是7.8。要讓學(xué)生理解這個(gè)比值的具體意思是“1立方厘米鐵塊大約重7.8克”，這樣，第三個(gè)鐵塊的體積就可以稱(chēng)出質(zhì)量后用除法計(jì)算了。
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