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高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)

時間:2022-12-16 12:14:16 知識點總結(jié) 我要投稿

高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)匯編15篇

  總結(jié)是在某一特定時間段對學(xué)習(xí)和工作生活或其完成情況,包括取得的成績、存在的問題及得到的經(jīng)驗和教訓(xùn)加以回顧和分析的書面材料,它可以有效鍛煉我們的語言組織能力,因此十分有必須要寫一份總結(jié)哦。總結(jié)怎么寫才是正確的呢?下面是小編精心整理的高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié),希望對大家有所幫助。

高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)匯編15篇

高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)1

  1.對于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“確定性、互異性、無序性”。

  中元素各表示什么?

  注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。

  空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。

  3.注意下列性質(zhì):

  (3)德摩根定律:

  4.你會用補集思想解決問題嗎?(排除法、間接法)

  的取值范圍。

  6.命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么?

  (互為逆否關(guān)系的命題是等價命題。)

  原命題與逆否命題同真、同假;逆命題與否命題同真同假。

  7.對映射的概念了解嗎?映射f:A→B,是否注意到A中元素的任意性和B中與之對應(yīng)元素的性,哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射?

  (一對一,多對一,允許B中有元素?zé)o原象。)

  8.函數(shù)的三要素是什么?如何比較兩個函數(shù)是否相同?

  (定義域、對應(yīng)法則、值域)

  9.求函數(shù)的定義域有哪些常見類型?

  10.如何求復(fù)合函數(shù)的定義域?

  義域是_____________。

  11.求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時,注明函數(shù)的定義域了嗎?

  12.反函數(shù)存在的條件是什么?

  (一一對應(yīng)函數(shù))

  求反函數(shù)的步驟掌握了嗎?

  (①反解x;②互換x、y;③注明定義域)

  13.反函數(shù)的性質(zhì)有哪些?

  ①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱;

  ②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性;

  14.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性?

  (取值、作差、判正負)

  如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性?

  ∴……)

  15.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性?

  值是()

  A.0B.1C.2D.3

  ∴a的值為3)

  16.函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要(非充分)條件是什么?

  (f(x)定義域關(guān)于原點對稱)

  注意如下結(jié)論:

  (1)在公共定義域內(nèi):兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù);兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù);一個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。

  17.你熟悉周期函數(shù)的定義嗎?

  函數(shù),T是一個周期。)

  如:

  18.你掌握常用的圖象變換了嗎?

  注意如下“翻折”變換:

  19.你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎?

  的雙曲線。

  應(yīng)用:①“三個二次”(二次函數(shù)、二次方程、二次不等式)的關(guān)系——二次方程

  ②求閉區(qū)間[m,n]上的最值。

  ③求區(qū)間定(動),對稱軸動(定)的最值問題。

  ④一元二次方程根的分布問題。

  由圖象記性質(zhì)!(注意底數(shù)的限定!)

  利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么?

  20.你在基本運算上常出現(xiàn)錯誤嗎?

  21.如何解抽象函數(shù)問題?

  (賦值法、結(jié)構(gòu)變換法)

  22.掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎?

  (二次函數(shù)法(配方法),反函數(shù)法,換元法,均值定理法,判別式法,利用函數(shù)單調(diào)性法,導(dǎo)數(shù)法等。)

  如求下列函數(shù)的最值:

  23.你記得弧度的定義嗎?能寫出圓心角為α,半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎?

  24.熟記三角函數(shù)的定義,單位圓中三角函數(shù)線的定義

  25.你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎?并由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對稱點、對稱軸嗎?

  (x,y)作圖象。

  27.在三角函數(shù)中求一個角時要注意兩個方面——先求出某一個三角函數(shù)值,再判定角的范圍。

  28.在解含有正、余弦函數(shù)的問題時,你注意(到)運用函數(shù)的有界性了嗎?

  29.熟練掌握三角函數(shù)圖象變換了嗎?

  (平移變換、伸縮變換)

  平移公式:

  圖象?

  30.熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式了嗎?

  “奇”、“偶”指k取奇、偶數(shù)。

  A.正值或負值B.負值C.非負值D.正值

  31.熟練掌握兩角和、差、倍、降冪公式及其逆向應(yīng)用了嗎?

  理解公式之間的聯(lián)系:

  應(yīng)用以上公式對三角函數(shù)式化簡。(化簡要求:項數(shù)最少、函數(shù)種類最少,分母中不含三角函數(shù),能求值,盡可能求值。)

  具體方法:

  (2)名的變換:化弦或化切

  (3)次數(shù)的變換:升、降冪公式

  (4)形的變換:統(tǒng)一函數(shù)形式,注意運用代數(shù)運算。

  32.正、余弦定理的各種表達形式你還記得嗎?如何實現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化,而解斜三角形?

  (應(yīng)用:已知兩邊一夾角求第三邊;已知三邊求角。)

  33.用反三角函數(shù)表示角時要注意角的范圍。

  34.不等式的性質(zhì)有哪些?

  答案:C

  35.利用均值不等式:

  值?(一正、二定、三相等)

  注意如下結(jié)論:

  36.不等式證明的基本方法都掌握了嗎?

  (比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等)

  并注意簡單放縮法的應(yīng)用。

  (移項通分,分子分母因式分解,x的系數(shù)變?yōu)?,穿軸法解得結(jié)果。)

  38.用“穿軸法”解高次不等式——“奇穿,偶切”,從根的右上方開始

  39.解含有參數(shù)的不等式要注意對字母參數(shù)的討論

  40.對含有兩個絕對值的不等式如何去解?

  (找零點,分段討論,去掉絕對值符號,最后取各段的并集。)

  證明:

  (按不等號方向放縮)

  42.不等式恒成立問題,常用的處理方式是什么?(可轉(zhuǎn)化為最值問題,或“△”問題)

  43.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

  0的二次函數(shù))

  項,即:

  44.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)

  46.你熟悉求數(shù)列通項公式的常用方法嗎?

  例如:(1)求差(商)法

  解:

  [練習(xí)]

  (2)疊乘法

  解:

  (3)等差型遞推公式

  [練習(xí)]

  (4)等比型遞推公式

  [練習(xí)]

  (5)倒數(shù)法

  47.你熟悉求數(shù)列前n項和的常用方法嗎?

  例如:(1)裂項法:把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和,使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項。

  解:

  [練習(xí)]

  (2)錯位相減法:

  (3)倒序相加法:把數(shù)列的各項順序倒寫,再與原來順序的數(shù)列相加。

  [練習(xí)]

  48.你知道儲蓄、貸款問題嗎?

  △零存整取儲蓄(單利)本利和計算模型:

  若每期存入本金p元,每期利率為r,n期后,本利和為:

  △若按復(fù)利,如貸款問題——按揭貸款的每期還款計算模型(按揭貸款——分期等額歸還本息的借款種類)

  若貸款(向銀行借款)p元,采用分期等額還款方式,從借款日算起,一期(如一年)后為第一次還款日,如此下去,第n次還清。如果每期利率為r(按復(fù)利),那么每期應(yīng)還x元,滿足

  p——貸款數(shù),r——利率,n——還款期數(shù)

  49.解排列、組合問題的依據(jù)是:分類相加,分步相乘,有序排列,無序組合。

  (2)排列:從n個不同元素中,任取m(m≤n)個元素,按照一定的順序排成一

  (3)組合:從n個不同元素中任取m(m≤n)個元素并組成一組,叫做從n個不

  50.解排列與組合問題的規(guī)律是:

  相鄰問題_法;相間隔問題插空法;定位問題優(yōu)先法;多元問題分類法;至多至少問題間接法;相同元素分組可采用隔板法,數(shù)量不大時可以逐一排出結(jié)果。

  如:學(xué)號為1,2,3,4的四名學(xué)生的考試成績

  則這四位同學(xué)考試成績的所有可能情況是()

  A.24B.15C.12D.10

  解析:可分成兩類:

  (2)中間兩個分數(shù)相等

  相同兩數(shù)分別取90,91,92,對應(yīng)的排列可以數(shù)出來,分別有3,4,3種,∴有10種。

  ∴共有5+10=15(種)情況

  51.二項式定理

  性質(zhì):

  (3)最值:n為偶數(shù)時,n+1為奇數(shù),中間一項的二項式系數(shù)且為第

  表示)

  52.你對隨機事件之間的關(guān)系熟悉嗎?

  的和(并)。

  (5)互斥事件(互不相容事件):“A與B不能同時發(fā)生”叫做A、B互斥。

  (6)對立事件(互逆事件):

  (7)獨立事件:A發(fā)生與否對B發(fā)生的概率沒有影響,這樣的兩個事件叫做相互獨立事件。

  53.對某一事件概率的求法:

  分清所求的是:(1)等可能事件的概率(常采用排列組合的方法,即

  (5)如果在一次試驗中A發(fā)生的概率是p,那么在n次獨立重復(fù)試驗中A恰好發(fā)生

  如:設(shè)10件產(chǎn)品中有4件次品,6件正品,求下列事件的概率。

  (1)從中任取2件都是次品;

  (2)從中任取5件恰有2件次品;

  (3)從中有放回地任取3件至少有2件次品;

  解析:有放回地抽取3次(每次抽1件),∴n=103

  而至少有2件次品為“恰有2次品”和“三件都是次品”

  (4)從中依次取5件恰有2件次品。

  解析:∵一件一件抽取(有順序)

  分清(1)、(2)是組合問題,(3)是可重復(fù)排列問題,(4)是無重復(fù)排列問題。

  54.抽樣方法主要有:簡單隨機抽樣(抽簽法、隨機數(shù)表法)常常用于總體個數(shù)較少時,它的特征是從總體中逐個抽取;系統(tǒng)抽樣,常用于總體個數(shù)較多時,它的主要特征是均衡成若干部分,每部分只取一個;分層抽樣,主要特征是分層按比例抽樣,主要用于總體中有明顯差異,它們的共同特征是每個個體被抽到的概率相等,體現(xiàn)了抽樣的客觀性和平等性。

  55.對總體分布的估計——用樣本的頻率作為總體的概率,用樣本的期望(平均值)和方差去估計總體的期望和方差。

  要熟悉樣本頻率直方圖的作法:

  (2)決定組距和組數(shù);

  (3)決定分點;

  (4)列頻率分布表;

  (5)畫頻率直方圖。

  如:從10名_與5名男生中選6名學(xué)生參加比賽,如果按性別分層隨機抽樣,則組成此參賽隊的概率為____________。

  56.你對向量的有關(guān)概念清楚嗎?

  (1)向量——既有大小又有方向的量。

  在此規(guī)定下向量可以在平面(或空間)平行移動而不改變。

  (6)并線向量(平行向量)——方向相同或相反的向量。

  規(guī)定零向量與任意向量平行。

  (7)向量的加、減法如圖:

  (8)平面向量基本定理(向量的分解定理)

  的一組基底。

  (9)向量的坐標表示

  表示。

  57.平面向量的數(shù)量積

  數(shù)量積的幾何意義:

  (2)數(shù)量積的運算法則

  [練習(xí)]

  答案:

  答案:2

  答案:

  58.線段的定比分點

  ※.你能分清三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心及其性質(zhì)嗎?

  59.立體幾何中平行、垂直關(guān)系證明的思路清楚嗎?

  平行垂直的證明主要利用線面關(guān)系的轉(zhuǎn)化:

  線面平行的判定:

  線面平行的性質(zhì):

  三垂線定理(及逆定理):

  線面垂直:

  面面垂直:

  60.三類角的定義及求法

  (1)異面直線所成的角θ,0°<θ≤90°

  (2)直線與平面所成的角θ,0°≤θ≤90°

  (三垂線定理法:A∈α作或證AB⊥β于B,作BO⊥棱于O,連AO,則AO⊥棱l,∴∠AOB為所求。)

  三類角的求法:

  ①找出或作出有關(guān)的角。

  ②證明其符合定義,并指出所求作的角。

  ③計算大小(解直角三角形,或用余弦定理)。

  [練習(xí)]

  (1)如圖,OA為α的斜線OB為其在α_影,OC為α內(nèi)過O點任一直線。

  (2)如圖,正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中對角線BD1=8,BD1與側(cè)面B1BCC1所成的為30°。

  ①求BD1和底面ABCD所成的角;

  ②求異面直線BD1和AD所成的角;

  ③求二面角C1—BD1—B1的大小。

  (3)如圖ABCD為菱形,∠DAB=60°,PD⊥面ABCD,且PD=AD,求面PAB與面PCD所成的銳二面角的大小。

  (∵AB∥DC,P為面PAB與面PCD的公共點,作PF∥AB,則PF為面PCD與面PAB的交線……)

  61.空間有幾種距離?如何求距離?

  點與點,點與線,點與面,線與線,線與面,面與面間距離。

  將空間距離轉(zhuǎn)化為兩點的距離,構(gòu)造三角形,解三角形求線段的長(如:三垂線定理法,或者用等積轉(zhuǎn)化法)。

  如:正方形ABCD—A1B1C1D1中,棱長為a,則:

  (1)點C到面AB1C1的距離為___________;

  (2)點B到面ACB1的距離為____________;

  (3)直線A1D1到面AB1C1的距離為____________;

  (4)面AB1C與面A1DC1的距離為____________;

  (5)點B到直線A1C1的距離為_____________。

  62.你是否準確理解正棱柱、正棱錐的定義并掌握它們的性質(zhì)?

  正棱柱——底面為正多邊形的直棱柱

  正棱錐——底面是正多邊形,頂點在底面的射影是底面的中心。

  正棱錐的計算集中在四個直角三角形中:

  它們各包含哪些元素?

  63.球有哪些性質(zhì)?

  (2)球面上兩點的距離是經(jīng)過這兩點的大圓的劣弧長。為此,要找球心角!

  (3)如圖,θ為緯度角,它是線面成角;α為經(jīng)度角,它是面面成角。

  (5)球內(nèi)接長方體的對角線是球的直徑。正四面體的外接球半徑R與內(nèi)切球半徑r之比為R:r=3:1。

  積為()

  答案:A

  64.熟記下列公式了嗎?

  (2)直線方程:

  65.如何判斷兩直線平行、垂直?

  66.怎樣判斷直線l與圓C的位置關(guān)系?

  圓心到直線的距離與圓的半徑比較。

  直線與圓相交時,注意利用圓的“垂徑定理”。

  67.怎樣判斷直線與圓錐曲線的位置?

  68.分清圓錐曲線的定義

  70.在圓錐曲線與直線聯(lián)立求解時,消元后得到的方程,要注意其二次項系數(shù)是否為零?△≥0的限制。(求交點,弦長,中點,斜率,對稱存在性問題都在△≥0下進行。)

  71.會用定義求圓錐曲線的焦半徑嗎?

  如:

  通徑是拋物線的所有焦點弦中最短者;以焦點弦為直徑的圓與準線相切。

  72.有關(guān)中點弦問題可考慮用“代點法”。

  答案:

  73.如何求解“對稱”問題?

  (1)證明曲線C:F(x,y)=0關(guān)于點M(a,b)成中心對稱,設(shè)A(x,y)為曲線C上任意一點,設(shè)A'(x',y')為A關(guān)于點M的對稱點。

  75.求軌跡方程的常用方法有哪些?注意討論范圍。

  (直接法、定義法、轉(zhuǎn)移法、參數(shù)法)

  76.對線性規(guī)劃問題:作出可行域,作出以目標函數(shù)為截距的直線,在可行域內(nèi)平移直線,求出目標函數(shù)的最值。

高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)2

  1.二次函數(shù)y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2+k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點坐標及對稱軸如下表:

  解析式

  頂點坐標

  對稱軸

  y=ax^2

  (0,0)

  x=0

  y=a(x-h)^2

  (h,0)

  x=h

  y=a(x-h)^2+k

  (h,k)

  x=h

  y=ax^2+bx+c

  (-b/2a,[4ac-b^2]/4a)

  x=-b/2a

  當h>0時,y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到,

  當h<0時,則向左平行移動|h|個單位得到.

  當h>0,k>0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

  當h>0,k<0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

  當h<0,k>0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向上移動k個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

  當h<0,k<0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y(tǒng)=a(x-h)^2+k的圖象;

  因此,研究拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式,可確定其頂點坐標、對稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.

  2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象:當a>0時,開口向上,當a<0時開口向下,對稱軸是直線x=-b/2a,頂點坐標是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).

  3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,當x≤-b/2a時,y隨x的增大而減小;當x≥-b/2a時,y隨x的增大而增大.若a<0,當x≤-b/2a時,y隨x的增大而增大;當x≥-b/2a時,y隨x的增大而減小.

  4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與坐標軸的交點:

  (1)圖象與y軸一定相交,交點坐標為(0,c);

  (2)當△=b^2-4ac>0,圖象與x軸交于兩點A(x?,0)和B(x?,0),其中的x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0

  (a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|x?-x?|

  當△=0.圖象與x軸只有一個交點;

  當△<0.圖象與x軸沒有交點.當a>0時,圖象落在x軸的上方,x為任何實數(shù)時,都有y>0;當a<0時,圖象落在x軸的下方,x為任何實數(shù)時,都有y<0.

  5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),則當x=-b/2a時,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.

  頂點的橫坐標,是取得最值時的自變量值,頂點的縱坐標,是最值的取值.

  6.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式

  (1)當題給條件為已知圖象經(jīng)過三個已知點或已知x、y的三對對應(yīng)值時,可設(shè)解析式為一般形式:

  y=ax^2+bx+c(a≠0).

  (2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或?qū)ΨQ軸時,可設(shè)解析式為頂點式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).

  (3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點坐標時,可設(shè)解析式為兩根式:y=a(x-x?)(x-x?)(a≠0).

  7.二次函數(shù)知識很容易與其它知識綜合應(yīng)用,而形成較為復(fù)雜的綜合題目。因此,以二次函數(shù)知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題,往往以大題形式出現(xiàn).

高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)3

  一、集合及其表示

  1、集合的含義:

  “集合”這個詞首先讓我們想到的是上體育課或者開會時老師經(jīng)常喊的“全體集合”。數(shù)學(xué)上的“集合”和這個意思是一樣的,只不過一個是動詞一個是名詞而已。

  所以集合的含義是:某些指定的對象集在一起就成為一個集合,簡稱集,其中每一個對象叫元素。比如高一二班集合,那么所有高一二班的同學(xué)就構(gòu)成了一個集合,每一個同學(xué)就稱為這個集合的元素。

  2、集合的表示

  通常用大寫字母表示集合,用小寫字母表示元素,如集合A={a,b,c}。a、b、c就是集合A中的元素,記作a∈A,相反,d不屬于集合A,記作d?A。

  有一些特殊的集合需要記憶:

  非負整數(shù)集(即自然數(shù)集)N正整數(shù)集N_或N+

  整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R

  集合的表示方法:列舉法與描述法。

  ①列舉法:{a,b,c……}

  ②描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來。如{x?R|x-3>2},{x|x-3>2},{(x,y)|y=x2+1}

  ③語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

  例:不等式x-3>2的解集是{x?R|x-3>2}或{x|x-3>2}

  強調(diào):描述法表示集合應(yīng)注意集合的代表元素

  A={(x,y)|y=x2+3x+2}與B={y|y=x2+3x+2}不同。集合A中是數(shù)組元素(x,y),集合B中只有元素y。

  3、集合的三個特性

  (1)無序性

  指集合中的元素排列沒有順序,如集合A={1,2},集合B={2,1},則集合A=B。

  例題:集合A={1,2},B={a,b},若A=B,求a、b的值。

  解:,A=B

  注意:該題有兩組解。

  (2)互異性

  指集合中的元素不能重復(fù),A={2,2}只能表示為{2}

  (3)確定性

  集合的確定性是指組成集合的元素的性質(zhì)必須明確,不允許有模棱兩可、含混不清的情況。

高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)4

  數(shù)學(xué)是利用符號語言研究數(shù)量、結(jié)構(gòu)、變化以及空間模型等概念的一門學(xué)科。小編準備了高一數(shù)學(xué)必修1期末考知識點,希望你喜歡。

  一、集合有關(guān)概念

  1、集合的含義:某些指定的對象集在一起就成為一個集合,其中每一個對象叫元素.

  2、集合的中元素的三個特性:

  1.元素的確定性; 2.元素的互異性; 3.元素的無序性

  說明:(1)對于一個給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素.

  (2)任何一個給定的集合中,任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入一個集合時,僅算一個元素.

  (3)集合中的元素是平等的,沒有先后順序,因此判定兩個集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣.

  (4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性.

  3、集合的表示:{ } 如{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

  1. 用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

  2.集合的表示方法:列舉法與描述法.

  注意啊:常用數(shù)集及其記法:

  非負整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N

  正整數(shù)集 N*或N+ 整數(shù)集Z 有理數(shù)集Q 實數(shù)集R

  關(guān)于屬于的概念

  集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就說a屬于集合A 記作 aA ,相反,a不屬于集合A 記作 a?A

  列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,然后用一個大括號括上.

  描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法.用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法.

  ①語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

  ②數(shù)學(xué)式子描述法:例:不等式x-32的解集是{x?R| x-32}或{x| x-32}

  4、集合的分類:

  1.有限集 含有有限個元素的集合

  2.無限集 含有無限個元素的集合

  3.空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}

  二、集合間的基本關(guān)系

  1.包含關(guān)系子集

  注意: 有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合.

  反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A

  2.相等關(guān)系(55,且55,則5=5)

  實例:設(shè) A={x|x2-1=0} B={-1,1} 元素相同

  結(jié)論:對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素,我們就說集合A等于集合B,即:A=B

  ① 任何一個集合是它本身的子集.AA

  ②真子集:如果AB,且A1 B那就說集合A是集合B的真子集,記作A B(或B A)

  ③如果 AB, BC ,那么 AC

  ④ 如果AB 同時 BA 那么A=B

  3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為

  規(guī)定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集.

  三、集合的運算

  1.交集的定義:一般地,由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.

  記作AB(讀作A交B),即AB={x|xA,且xB}.

  2、并集的定義:一般地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集.記作:AB(讀作A并B),即AB={x|xA,或xB}.

  3、交集與并集的性質(zhì):AA = A, A=, AB = BA,AA = A,

  A= A ,AB = BA.

  4、全集與補集

  (1)補集:設(shè)S是一個集合,A是S的一個子集(即 ),由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補集(或余集)

  (2)全集:如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素,這個集合就可以看作一個全集.通常用U來表示.

  (3)性質(zhì):⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA) ⑶(CUA)A=U

高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)5

  一、函數(shù)的概念與表示

  1、映射

  (1)映射:設(shè)A、B是兩個集合,如果按照某種映射法則f,對于集合A中的任一個元素,在集合B中都有唯一的元素和它對應(yīng),則這樣的對應(yīng)(包括集合A、B以及A到B的對應(yīng)法則f)叫做集合A到集合B的映射,記作f:A→B。

  注意點:(1)對映射定義的理解。(2)判斷一個對應(yīng)是映射的方法。一對多不是映射,多對一是映射

  2、函數(shù)

  構(gòu)成函數(shù)概念的三要素

  ①定義域②對應(yīng)法則③值域

  兩個函數(shù)是同一個函數(shù)的條件:三要素有兩個相同

  二、函數(shù)的解析式與定義域

  1、求函數(shù)定義域的主要依據(jù):

  (1)分式的分母不為零;

  (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零,零取零次方?jīng)]有意義;

  (3)對數(shù)函數(shù)的真數(shù)必須大于零;

  (4)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的底數(shù)必須大于零且不等于1;

  三、函數(shù)的值域

  1求函數(shù)值域的方法

  ①直接法:從自變量x的范圍出發(fā),推出y=f(x)的取值范圍,適合于簡單的復(fù)合函數(shù);

  ②換元法:利用換元法將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求值域,適合根式內(nèi)外皆為一次式;

  ③判別式法:運用方程思想,依據(jù)二次方程有根,求出y的取值范圍;適合分母為二次且∈R的分式;

  ④分離常數(shù):適合分子分母皆為一次式(x有范圍限制時要畫圖);

  ⑤單調(diào)性法:利用函數(shù)的單調(diào)性求值域;

  ⑥圖象法:二次函數(shù)必畫草圖求其值域;

  ⑦利用對號函數(shù)

  ⑧幾何意義法:由數(shù)形結(jié)合,轉(zhuǎn)化距離等求值域。主要是含絕對值函數(shù)

  四.函數(shù)的奇偶性

  1.定義:設(shè)y=f(x),x∈A,如果對于任意∈A,都有,則稱y=f(x)為偶函數(shù)。

  如果對于任意∈A,都有,則稱y=f(x)為奇

  函數(shù)。

  2.性質(zhì):

  ①y=f(x)是偶函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于軸對稱,y=f(x)是奇函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于原點對稱,

  ②若函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱,則f(0)=0

  ③奇±奇=奇偶±偶=偶奇×奇=偶偶×偶=偶奇×偶=奇[兩函數(shù)的定義域D1,D2,D1∩D2要關(guān)于原點對稱]

  3.奇偶性的判斷

  ①看定義域是否關(guān)于原點對稱②看f(x)與f(-x)的關(guān)系

  五、函數(shù)的單調(diào)性

  1、函數(shù)單調(diào)性的定義:

  2設(shè)是定義在M上的函數(shù),若f(x)與g(x)的單調(diào)性相反,則在M上是減函數(shù);若f(x)與g(x)的單調(diào)性相同,則在M上是增函數(shù)。

高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)6

  1、集合的概念

  集合是集合論中的不定義的原始概念,教材中對集合的概念進行了描述性說明:“一般地,把一些能夠確定的不同的對象看成一個整體,就說這個整體是由這些對象的全體構(gòu)成的集合(或集)”。理解這句話,應(yīng)該把握4個關(guān)鍵詞:對象、確定的、不同的、整體。

  對象――即集合中的元素。集合是由它的元素確定的。

  整體――集合不是研究某一單一對象的,它關(guān)注的是這些對象的全體。

  確定的――集合元素的確定性――元素與集合的“從屬”關(guān)系。

  不同的――集合元素的互異性。

  2、有限集、無限集、空集的意義

  有限集和無限集是針對非空集合來說的。我們理解起來并不困難。

  我們把不含有任何元素的集合叫做空集,記做Φ。理解它時不妨思考一下“0與Φ”及“Φ與{Φ}”的關(guān)系。

  幾個常用數(shù)集N、N_N+、Z、Q、R要記牢。

  3、集合的表示方法

  (1)列舉法的表示形式比較容易掌握,并不是所有的集合都能用列舉法表示,同學(xué)們需要知道能用列舉法表示的三種集合:

  ①元素不太多的有限集,如{0,1,8}

  ②元素較多但呈現(xiàn)一定的規(guī)律的有限集,如{1,2,3,…,100}

  ③呈現(xiàn)一定規(guī)律的無限集,如{1,2,3,…,n,…}

  ●注意a與{a}的區(qū)別

  ●注意用列舉法表示集合時,集合元素的“無序性”。

  (2)特征性質(zhì)描述法的關(guān)鍵是把所研究的集合的“特征性質(zhì)”找準,然后適當?shù)乇硎境鰜砭托辛恕5P(guān)鍵點也是難點。學(xué)習(xí)時多加練習(xí)就可以了。另外,弄清“代表元素”也是非常重要的。如{x|y=x2},{y|y=x2},{(x,y)|y=x2}是三個不同的集合。

  4、集合之間的關(guān)系

  ●注意區(qū)分“從屬”關(guān)系與“包含”關(guān)系

  “從屬”關(guān)系是元素與集合之間的關(guān)系。

  “包含”關(guān)系是集合與集合之間的關(guān)系。掌握子集、真子集的概念,掌握集合相等的概念,學(xué)會正確使用“”等符號,會用Venn圖描述集合之間的關(guān)系是基本要求。

  ●注意辨清Φ與{Φ}兩種關(guān)系。

高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)7

  一、集合有關(guān)概念

  1.集合的含義

  2.集合的中元素的三個特性:

  (1)元素的確定性如:世界上的山

  (2)元素的互異性如:由HAPPY的字母組成的集合{H,A,P,Y}

  (3)元素的無序性:如:{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合

  3.集合的表示:{…}如:{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

  (1)用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

  (2)集合的表示方法:列舉法與描述法。

  注意:常用數(shù)集及其記法:

  非負整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N

  正整數(shù)集:N_或N+

  整數(shù)集:Z

  有理數(shù)集:Q

  實數(shù)集:R

  1)列舉法:{a,b,c……}

  2)描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合{xR|x-3>2},{x|x-3>2}

  3)語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

  4)Venn圖:

  4、集合的分類:

  (1)有限集含有有限個元素的集合

  (2)無限集含有無限個元素的集合

  (3)空集不含任何元素的集合例:{x|x2=-5}

  二、集合間的基本關(guān)系

  1.“包含”關(guān)系—子集

  注意:有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。

  反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作AB或BA

  2.“相等”關(guān)系:A=B(5≥5,且5≤5,則5=5)

  實例:設(shè)A={x|x2-1=0}B={-1,1}“元素相同則兩集合相等”

  即:①任何一個集合是它本身的子集。AA

  ②真子集:如果AB,且AB那就說集合A是集合B的真子集,記作AB(或BA)

  ③如果AB,BC,那么AC

  ④如果AB同時BA那么A=B

  3.不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ

  規(guī)定:空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集。

  4.子集個數(shù):

  有n個元素的集合,含有2n個子集,2n-1個真子集,含有2n-1個非空子集,含有2n-1個非空真子集

  三、集合的運算

  運算類型交集并集補集

  定義由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.記作AB(讀作‘A交B’),即AB={x|xA,且xB}.

  由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集.記作:AB(讀作‘A并B’),即AB={x|xA,或xB}).

  設(shè)S是一個集合,A是S的一個子集,由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補集(或余集)

  記作,即

  CSA=

  AA=A

  AΦ=Φ

  AB=BA

  ABA

  ABB

  AA=A

  AΦ=A

  AB=BA

  ABA

  ABB

  (CuA)(CuB)

  =Cu(AB)

  (CuA)(CuB)

  =Cu(AB)

  A(CuA)=U

  A(CuA)=Φ.

  二、函數(shù)的有關(guān)概念

  1.函數(shù)的概念

  設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.

  注意:

  1.定義域:能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域。

  求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是:

  (1)分式的分母不等于零;

  (2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;

  (3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零;

  (4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.

  (5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.

  (6)指數(shù)為零底不可以等于零,

  (7)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.

  相同函數(shù)的判斷方法:①表達式相同(與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān));

  ②定義域一致(兩點必須同時具備)

  2.值域:先考慮其定義域

  (1)觀察法(2)配方法(3)代換法

  3.函數(shù)圖象知識歸納

  (1)定義:

  在平面直角坐標系中,以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標,函數(shù)值y為縱坐標的點P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象.C上每一點的坐標(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標的點(x,y),均在C上.

  (2)畫法

  1.描點法:2.圖象變換法:常用變換方法有三種:1)平移變換2)伸縮變換3)對稱變換

  4.區(qū)間的概念

  (1)區(qū)間的分類:開區(qū)間、閉區(qū)間、半開半閉區(qū)間(2)無窮區(qū)間(3)區(qū)間的數(shù)軸表示.

  5.映射

  一般地,設(shè)A、B是兩個非空的集合,如果按某一個確定的對應(yīng)法則f,使對于集合A中的任意一個元素x,在集合B中都有確定的元素y與之對應(yīng),那么就稱對應(yīng)f:AB為從集合A到集合B的一個映射。記作“f(對應(yīng)關(guān)系):A(原象)B(象)”

  對于映射f:A→B來說,則應(yīng)滿足:

  (1)集合A中的每一個元素,在集合B中都有象,并且象是的;

  (2)集合A中不同的元素,在集合B中對應(yīng)的象可以是同一個;

  (3)不要求集合B中的每一個元素在集合A中都有原象。

  6.分段函數(shù)

  (1)在定義域的不同部分上有不同的解析表達式的函數(shù)。

  (2)各部分的自變量的取值情況.

  (3)分段函數(shù)的定義域是各段定義域的交集,值域是各段值域的并集.

  補充:復(fù)合函數(shù)

  如果y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),則y=f[g(x)]=F(x)(x∈A)稱為f、g的復(fù)合函數(shù)。

  二.函數(shù)的性質(zhì)

  1.函數(shù)的單調(diào)性(局部性質(zhì))

  (1)增函數(shù)

  設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域為I,如果對于定義域I內(nèi)的某個區(qū)間D內(nèi)的任意兩個自變量x1,x2,當x1

  如果對于區(qū)間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1

  注意:函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)的局部性質(zhì);

  (2)圖象的特點

  如果函數(shù)y=f(x)在某個區(qū)間是增函數(shù)或減函數(shù),那么說函數(shù)y=f(x)在這一區(qū)間上具有(嚴格的)單調(diào)性,在單調(diào)區(qū)間上增函數(shù)的圖象從左到右是上升的,減函數(shù)的圖象從左到右是下降的

  (3).函數(shù)單調(diào)區(qū)間與單調(diào)性的判定方法

  (A)定義法:

  (1)任取x1,x2∈D,且x1

  (2)作差f(x1)-f(x2);或者做商

  (3)變形(通常是因式分解和配方);

  (4)定號(即判斷差f(x1)-f(x2)的正負);

  (5)下結(jié)論(指出函數(shù)f(x)在給定的區(qū)間D上的單調(diào)性).

  (B)圖象法(從圖象上看升降)

  (C)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性

  復(fù)合函數(shù)f[g(x)]的單調(diào)性與構(gòu)成它的函數(shù)u=g(x),y=f(u)的單調(diào)性密切相關(guān),其規(guī)律:“同增異減”

  注意:函數(shù)的單調(diào)區(qū)間只能是其定義域的子區(qū)間,不能把單調(diào)性相同的區(qū)間和在一起寫成其并集.

  8.函數(shù)的奇偶性(整體性質(zhì))

  (1)偶函數(shù):一般地,對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)就叫做偶函數(shù).

  (2)奇函數(shù):一般地,對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個x,都有f(-x)=—f(x),那么f(x)就叫做奇函數(shù).

  (3)具有奇偶性的函數(shù)的圖象的特征:偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱;奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱.

  9.利用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟:

  ○1首先確定函數(shù)的定義域,并判斷其是否關(guān)于原點對稱;

  ○2確定f(-x)與f(x)的關(guān)系;

  ○3作出相應(yīng)結(jié)論:若f(-x)=f(x)或f(-x)-f(x)=0,則f(x)是偶函數(shù);若f(-x)=-f(x)或f(-x)+f(x)=0,則f(x)是奇函數(shù).

  注意:函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件.首先看函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點對稱,若不對稱則函數(shù)是非奇非偶函數(shù).若對稱,(1)再根據(jù)定義判定;(2)由f(-x)±f(x)=0或f(x)/f(-x)=±1來判定;(3)利用定理,或借助函數(shù)的圖象判定.

  10、函數(shù)的解析表達式

  (1)函數(shù)的解析式是函數(shù)的一種表示方法,要求兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系時,一是要求出它們之間的對應(yīng)法則,二是要求出函數(shù)的定義域.

  (2)求函數(shù)的解析式的主要方法有:1.湊配法2.待定系數(shù)法3.換元法4.消參法

  11.函數(shù)(小)值

  ○1利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的(小)值

  ○2利用圖象求函數(shù)的(小)值

  ○3利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的(小)值:

  如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞增,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞減則函數(shù)y=f(x)在x=b處有值f(b);

  如果函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[b,c]上單調(diào)遞增則函數(shù)y=f(x)在x=b處有最小值f(b);

  第三章基本初等函數(shù)

  一、指數(shù)函數(shù)

  (一)指數(shù)與指數(shù)冪的運算

  1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根,其中>1,且∈_.

  負數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作。

  當是奇數(shù)時,,當是偶數(shù)時,

  2.分數(shù)指數(shù)冪

  正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的意義,規(guī)定:

  ,

  0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義

  3.實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

  (1);

  (2);

  (3).

  (二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

  1、指數(shù)函數(shù)的概念:一般地,函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù),其中x是自變量,函數(shù)的定義域為R.

  注意:指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍,底數(shù)不能是負數(shù)、零和1.

  2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

  a>10

  定義域R定義域R

  值域y>0值域y>0

  在R上單調(diào)遞增在R上單調(diào)遞減

  非奇非偶函數(shù)非奇非偶函數(shù)

  函數(shù)圖象都過定點(0,1)函數(shù)圖象都過定點(0,1)

  注意:利用函數(shù)的單調(diào)性,結(jié)合圖象還可以看出:

  (1)在[a,b]上,值域是或;

  (2)若,則;取遍所有正數(shù)當且僅當;

  (3)對于指數(shù)函數(shù),總有;

  二、對數(shù)函數(shù)

  (一)對數(shù)

  1.對數(shù)的概念:

  一般地,如果,那么數(shù)叫做以為底的對數(shù),記作:(—底數(shù),—真數(shù),—對數(shù)式)

  說明:○1注意底數(shù)的限制,且;

  ○2;

  ○3注意對數(shù)的書寫格式.

  兩個重要對數(shù):

  ○1常用對數(shù):以10為底的對數(shù);

  ○2自然對數(shù):以無理數(shù)為底的對數(shù)的對數(shù).

  指數(shù)式與對數(shù)式的互化

  冪值真數(shù)

  =N=b

  底數(shù)

  指數(shù)對數(shù)

  (二)對數(shù)的運算性質(zhì)

  如果,且,,,那么:

  ○1+;

  ○2-;

  ○3.

  注意:換底公式:(,且;,且;).

  利用換底公式推導(dǎo)下面的結(jié)論:(1);(2).

  (3)、重要的公式①、負數(shù)與零沒有對數(shù);②、,③、對數(shù)恒等式

  (二)對數(shù)函數(shù)

  1、對數(shù)函數(shù)的概念:函數(shù),且叫做對數(shù)函數(shù),其中是自變量,函數(shù)的定義域是(0,+∞).

  注意:○1對數(shù)函數(shù)的定義與指數(shù)函數(shù)類似,都是形式定義,注意辨別。如:,都不是對數(shù)函數(shù),而只能稱其為對數(shù)型函數(shù).

  ○2對數(shù)函數(shù)對底數(shù)的限制:,且.

  2、對數(shù)函數(shù)的性質(zhì):

  a>10

  定義域x>0定義域x>0

  值域為R值域為R

  在R上遞增在R上遞減

  函數(shù)圖象都過定點(1,0)函數(shù)圖象都過定點(1,0)

  (三)冪函數(shù)

  1、冪函數(shù)定義:一般地,形如的函數(shù)稱為冪函數(shù),其中為常數(shù).

  2、冪函數(shù)性質(zhì)歸納.

  (1)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)都有定義并且圖象都過點(1,1);

  (2)時,冪函數(shù)的圖象通過原點,并且在區(qū)間上是增函數(shù).特別地,當時,冪函數(shù)的圖象下凸;當時,冪函數(shù)的圖象上凸;

  (3)時,冪函數(shù)的圖象在區(qū)間上是減函數(shù).在第一象限內(nèi),當從右邊趨向原點時,圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸,當趨于時,圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸.

  第四章函數(shù)的應(yīng)用

  一、方程的根與函數(shù)的零點

  1、函數(shù)零點的概念:對于函數(shù),把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。

  2、函數(shù)零點的意義:函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根,亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標。

  即:方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點.

  3、函數(shù)零點的求法:

  ○1(代數(shù)法)求方程的實數(shù)根;

  ○2(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.

  4、二次函數(shù)的零點:

  二次函數(shù).

  (1)△>0,方程有兩不等實根,二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點,二次函數(shù)有兩個零點.

  (2)△=0,方程有兩相等實根,二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點,二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.

  (3)△<0,方程無實根,二次函數(shù)的圖象與軸無交點,二次函數(shù)無零點.

高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)8

  一、指數(shù)函數(shù)

  (一)指數(shù)與指數(shù)冪的運算

  1.根式的概念:一般地,如果,那么叫做的次方根(nthroot),其中>1,且∈_.

  當是奇數(shù)時,正數(shù)的次方根是一個正數(shù),負數(shù)的次方根是一個負數(shù).此時,的次方根用符號表示.式子叫做根式(radical),這里叫做根指數(shù)(radicalexponent),叫做被開方數(shù)(radicand).

  當是偶數(shù)時,正數(shù)的次方根有兩個,這兩個數(shù)互為相反數(shù).此時,正數(shù)的正的次方根用符號表示,負的次方根用符號-表示.正的次方根與負的次方根可以合并成±(>0).由此可得:負數(shù)沒有偶次方根;0的任何次方根都是0,記作。

  注意:當是奇數(shù)時,當是偶數(shù)時,

  2.分數(shù)指數(shù)冪

  正數(shù)的分數(shù)指數(shù)冪的意義,規(guī)定:

  0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義

  指出:規(guī)定了分數(shù)指數(shù)冪的意義后,指數(shù)的概念就從整數(shù)指數(shù)推廣到了有理數(shù)指數(shù),那么整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)也同樣可以推廣到有理數(shù)指數(shù)冪.

  3.實數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)

  (二)指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

  1、指數(shù)函數(shù)的概念:一般地,函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù)(exponential),其中x是自變量,函數(shù)的定義域為R.

  注意:指數(shù)函數(shù)的底數(shù)的取值范圍,底數(shù)不能是負數(shù)、零和1.

  2、指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)

  【第三章:第三章函數(shù)的應(yīng)用】

  1、函數(shù)零點的概念:對于函數(shù),把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。

  2、函數(shù)零點的意義:函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根,亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標。即:

  方程有實數(shù)根函數(shù)的圖象與軸有交點函數(shù)有零點.

  3、函數(shù)零點的求法:

  求函數(shù)的零點:

  (1)(代數(shù)法)求方程的實數(shù)根;

  (2)(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點.

  4、二次函數(shù)的零點:

  二次函數(shù).

  1)△>0,方程有兩不等實根,二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點,二次函數(shù)有兩個零點.  2)△=0,方程有兩相等實根(二重根),二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點,二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點.

  3)△<0,方程無實根,二次函數(shù)的圖象與軸無交點,二次函數(shù)無零點.

  3.2.1幾類不同增長的函數(shù)模型

  【課 型】新授課

  【教學(xué)目標】

  結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同增長的函數(shù)模型意義, 理解它們的增長差異性.

  【教學(xué)重點、難點】

  1. 教學(xué)重點 將實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)模型,比較常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型的增長差異,結(jié)合實例體會直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義.

  2.教學(xué)難點 選擇合適的數(shù)學(xué)模型分析解決實際問題.

  【學(xué)法與教學(xué)用具】

  1. 學(xué)法:學(xué)生通過閱讀教材,動手畫圖,自主學(xué)習(xí)、思考,并相互討論,進行探索.

  2.教學(xué)用具:多媒體.

  【教學(xué)過程】

  (一)引入實例,創(chuàng)設(shè)情景.

  教師引導(dǎo)學(xué)生閱讀例1,分析其中的數(shù)量關(guān)系,思考應(yīng)當選擇怎樣的函數(shù)模型來描述;由學(xué)生自己根據(jù)數(shù)量關(guān)系,歸納概括出相應(yīng)的函數(shù)模型,寫出每個方案的函數(shù)解析式,教師在數(shù)量關(guān)系的分析、函數(shù)模型的選擇上作指導(dǎo).

  (二)互動交流,探求新知.

  1. 觀察數(shù)據(jù),體會模型.

  教師引導(dǎo)學(xué)生觀察例1表格中三種方案的數(shù)量變化情況,體會三種函數(shù)的增長差異,說出自己的發(fā)現(xiàn),并進行交流.

  2. 作出圖象,描述特點.

  教師引導(dǎo)學(xué)生借助計算器作出三個方案的函數(shù)圖象,分析三種方案的不同變化趨勢,并進行描述,為方案選擇提供依據(jù).

  (三)實例運用,鞏固提高.

  1. 教師引導(dǎo)學(xué)生分析影響方案選擇的因素,使學(xué)生認識到要做出正確選擇除了考慮每天的收益,還要考慮一段時間內(nèi)的總收益.學(xué)生通過自主活動,分析整理數(shù)據(jù),并根據(jù)其中的信息做出推理判斷,獲得累計收益并給出本例的完整解答,然后全班進行交流.

  2. 教師引導(dǎo)學(xué)生分析例2中三種函數(shù)的不同增長情況對于獎勵模型的影響,使學(xué)生明確問題的實質(zhì)就是比較三個函數(shù)的增長情況,進一步體會三種基本函數(shù)模型在實際中廣泛應(yīng)用,體會它們的增長差異.

  3.教師引導(dǎo)學(xué)生分析得出:要對每一個獎勵模型的獎金總額是否超出5萬元,以及獎勵比例是否超過25%進行分析,才能做出正確選擇,學(xué)會對數(shù)據(jù)的特點與作用進行分析、判斷。

  4.教師引導(dǎo)學(xué)生利用解析式,結(jié)合圖象,對例2的三個模型的增長情況進行分析比較,寫出完整的解答過程.進一步認識三個函數(shù)模型的增長差異,并掌握解答的規(guī)范要求.

  5.教師引導(dǎo)學(xué)生通過以上具體函數(shù)進行比較分析,探究冪函數(shù)(>0)、指數(shù)函數(shù)(>1)、對數(shù)函數(shù)(>1)在區(qū)間(0,+∞)上的增長差異,并從函數(shù)的性質(zhì)上進行研究、論證,同學(xué)之間進行交流總結(jié),形成結(jié)論性報告.教師對學(xué)生的結(jié)論進行評析,借助信息技術(shù)手段進行驗證演示.

  6. 課堂練習(xí)

  教材P98練習(xí)1、2,并由學(xué)生演示,進行講評。

  (四)歸納總結(jié),提升認識.

  教師通過計算機作圖進行總結(jié),使學(xué)生認識直線上升、指數(shù)爆炸、對數(shù)增長等不同函數(shù)模型的含義及其差異,認識數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活、與其他學(xué)科的密切聯(lián)系,從而體會數(shù)學(xué)的實用價值和內(nèi)在變化規(guī)律.

  (五)布置作業(yè)

  教材P107練習(xí)第2題

  收集一些社會生活中普遍使用的遞增的一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的實例,對它們的增長速度進行比較,了解函數(shù)模型的廣泛應(yīng)用,并思考。有時同一個實際問題可以建立多個函數(shù)模型,在具體應(yīng)用函數(shù)模型時,應(yīng)該怎樣選用合理的函數(shù)模型.

  3.2.2 函數(shù)模型的應(yīng)用實例(Ⅰ)

  【課 型】新授課

  【教學(xué)目標】

  能夠找出簡單實際問題中的函數(shù)關(guān)系式,初步體會應(yīng)用一次函數(shù)、二次函數(shù)模型解決實際問題.

  【教學(xué)重點與難點】

  1.教學(xué)重點:運用一次函數(shù)、二次函數(shù)模型解決一些實際問題.

  2. 教學(xué)難點:將實際問題轉(zhuǎn)變?yōu)閿?shù)學(xué)模型.

  【學(xué)法與教學(xué)用具】

  1. 學(xué)法:學(xué)生自主閱讀教材,采用嘗試、討論方式進行探究.

  2. 教學(xué)用具:多媒體

  【教學(xué)過程】

  (一)創(chuàng)設(shè)情景,揭示課題

  引例:大約在一千五百年前,大數(shù)學(xué)家孫子在《孫子算經(jīng)》中記載了這樣的一道題:“今有雛兔同籠,上有三十五頭,下有九十四足,問雛兔各幾何?”這四句的意思就是:有若干只有幾只雞和兔?你知道孫子是如何解答這個“雞兔同籠”問題的嗎?你有什么更好的方法?老師介紹孫子的大膽解法:他假設(shè)砍去每只雞和兔一半的腳,則每只雞和兔就變成了“獨腳雞”和“雙腳兔”.這樣,“獨腳雞”和“雙腳兔”腳的數(shù)量與它們頭的數(shù)量之差,就是兔子數(shù),即:47-35=12;雞數(shù)就是:35-12=23.

  比例激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣,增強其求知欲望.

  可引導(dǎo)學(xué)生運用方程的思想解答“雞兔同籠”問題.

  (二)結(jié)合實例,探求新知

  例1. 某列火車眾北京西站開往石家莊,全程277km,火車出發(fā)10min開出13km后,以120km/h勻速行駛.試寫出火車行駛的總路程S與勻速行駛的`時間t之間的關(guān)系式,并求火車離開北京2h內(nèi)行駛的路程.

  探索:

  1)本例所涉及的變量有哪些?它們的取值范圍怎樣;

  2)所涉及的變量的關(guān)系如何?

  3)寫出本例的解答過程.

  老師提示:路程S和自變量t的取值范圍(即函數(shù)的定義域),注意t的實際意義.

  學(xué)生獨立思考,完成解答,并相互討論、交流、評析.

  例2.某商店出售茶壺和茶杯,茶壺每只定價20元,茶杯每只定價5元,該商店制定了兩種優(yōu)惠辦法:

  1)本例所涉及的變量之間的關(guān)系可用何種函數(shù)模型來描述?

  2)本例涉及到幾個函數(shù)模型?

  3)如何理解“更省錢?”;

  4)寫出具體的解答過程.

  在學(xué)生自主思考,相互討論完成本例題解答之后,老師小結(jié):通過以上兩例,數(shù)學(xué)模型是用數(shù)學(xué)語言模擬現(xiàn)實的一種模型,它把實際問題中某些事物的主要特征和關(guān)系抽象出來,并用數(shù)學(xué)語言來表達,這一過程稱為建模,是解應(yīng)用題的關(guān)鍵。數(shù)學(xué)模型可采用各種形式,如方程(組),函數(shù)解析式,圖形與網(wǎng)絡(luò)等.

高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)9

  知識點1

  一、集合有關(guān)概念

  1、集合的含義:某些指定的對象集在一起就成為一個集合,其中每一個對象叫元素。

  2、集合的中元素的三個特性:

  1、元素的確定性;

  2、元素的互異性;

  3、元素的無序性

  說明:(1)對于一個給定的集合,集合中的元素是確定的,任何一個對象或者是或者不是這個給定的集合的元素。

  (2)任何一個給定的集合中,任何兩個元素都是不同的對象,相同的對象歸入一個集合時,僅算一個元素。

  (3)集合中的元素是平等的,沒有先后順序,因此判定兩個集合是否一樣,僅需比較它們的元素是否一樣,不需考查排列順序是否一樣。

  (4)集合元素的三個特性使集合本身具有了確定性和整體性。

  3、集合的表示:{…}如{我校的籃球隊員},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

  1、用拉丁字母表示集合:A={我校的籃球隊員},B={1,2,3,4,5}

  2、集合的表示方法:列舉法與描述法。

  注意啊:常用數(shù)集及其記法:

  非負整數(shù)集(即自然數(shù)集)記作:N

  正整數(shù)集N或N+整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R

  關(guān)于“屬于”的概念

  集合的元素通常用小寫的拉丁字母表示,如:a是集合A的元素,就說a屬于集合A記作a∈A,相反,a不屬于集合A記作a?A

  列舉法:把集合中的元素一一列舉出來,然后用一個大括號括上。

  描述法:將集合中的元素的公共屬性描述出來,寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。用確定的條件表示某些對象是否屬于這個集合的方法。

  ①語言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

  ②數(shù)學(xué)式子描述法:例:不等式x—3>2的解集是{x?R|x—3>2}或{x|x—3>2}

  4、集合的分類:

  1、有限集含有有限個元素的集合

  2、無限集含有無限個元素的集合

  3、空集不含任何元素的集合例:{x|x2=—5}

  知識點2

  I、定義與定義表達式

  一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關(guān)系:y=ax^2+bx+c

  (a,b,c為常數(shù),a≠0,且a決定函數(shù)的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大、)

  則稱y為x的二次函數(shù)。

  二次函數(shù)表達式的右邊通常為二次三項式。

  II、二次函數(shù)的三種表達式

  一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)

  頂點式:y=a(x—h)^2+k[拋物線的頂點P(h,k)]

  交點式:y=a(x—x?)(x—x?)[僅限于與x軸有交點A(x?,0)和B(x?,0)的拋物線]

  注:在3種形式的互相轉(zhuǎn)化中,有如下關(guān)系:

  h=—b/2ak=(4ac—b^2)/4ax?,x?=(—b±√b^2—4ac)/2a

  III、二次函數(shù)的圖像

  在平面直角坐標系中作出二次函數(shù)y=x^2的圖像,可以看出,二次函數(shù)的圖像是一條拋物線。

  IV、拋物線的性質(zhì)

  1、拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x=—b/2a。對稱軸與拋物線的交點為拋物線的頂點P。

  特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

  2、拋物線有一個頂點P,坐標為

  P(—b/2a,(4ac—b^2)/4a)

  當—b/2a=0時,P在y軸上;當Δ=b^2—4ac=0時,P在x軸上。

  3、二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

  當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。

  |a|越大,則拋物線的開口越小。

  知識點3

  1、拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線

  x=—b/2a。

  對稱軸與拋物線的交點為拋物線的頂點P。

  特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)

  2、拋物線有一個頂點P,坐標為

  P(—b/2a,(4ac—b’2)/4a)

  當—b/2a=0時,P在y軸上;當Δ=b’2—4ac=0時,P在x軸上。

  3、二次項系數(shù)a決定拋物線的開口方向和大小。

  當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。

  |a|越大,則拋物線的開口越小。

  4、一次項系數(shù)b和二次項系數(shù)a共同決定對稱軸的位置。

  當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;

  當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。

  5、常數(shù)項c決定拋物線與y軸交點。

  拋物線與y軸交于(0,c)

  6、拋物線與x軸交點個數(shù)

  Δ=b’2—4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。

  Δ=b’2—4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。

  Δ=b’2—4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。X的取值是虛數(shù)(x=—b±√b’2—4ac的值的相反數(shù),乘上虛數(shù)i,整個式子除以2a)

  知識點4

  對數(shù)函數(shù)

  對數(shù)函數(shù)的一般形式為,它實際上就是指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)。因此指數(shù)函數(shù)里對于a的規(guī)定,同樣適用于對數(shù)函數(shù)。

  右圖給出對于不同大小a所表示的函數(shù)圖形:

  可以看到對數(shù)函數(shù)的圖形只不過的指數(shù)函數(shù)的圖形的關(guān)于直線y=x的對稱圖形,因為它們互為反函數(shù)。

  (1)對數(shù)函數(shù)的定義域為大于0的實數(shù)集合。

  (2)對數(shù)函數(shù)的值域為全部實數(shù)集合。

  (3)函數(shù)總是通過(1,0)這點。

  (4)a大于1時,為單調(diào)遞增函數(shù),并且上凸;a小于1大于0時,函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù),并且下凹。

  (5)顯然對數(shù)函數(shù)。

  知識點5

  方程的根與函數(shù)的零點

  1、函數(shù)零點的概念:對于函數(shù),把使成立的實數(shù)叫做函數(shù)的零點。

  2、函數(shù)零點的意義:函數(shù)的零點就是方程實數(shù)根,亦即函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標。即:方程有實數(shù)根,函數(shù)的圖象與坐標軸有交點,函數(shù)有零點。

  3、函數(shù)零點的求法:

  (1)(代數(shù)法)求方程的實數(shù)根;

  (2)(幾何法)對于不能用求根公式的方程,可以將它與函數(shù)的圖象聯(lián)系起來,并利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點。

  4、二次函數(shù)的零點:

  (1)△>0,方程有兩不等實根,二次函數(shù)的圖象與軸有兩個交點,二次函數(shù)有兩個零點。

  (2)△=0,方程有兩相等實根(二重根),二次函數(shù)的圖象與軸有一個交點,二次函數(shù)有一個二重零點或二階零點。

  (3)△<0,方程無實根,二次函數(shù)的圖象與軸無交點,二次函數(shù)無零點。

高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)10

  1.函數(shù)的概念:設(shè)A、B是非空的數(shù)集,如果按照某個確定的對應(yīng)關(guān)系f,使對于集合A中的任意一個數(shù)x,在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng),那么就稱f:A→B為從集合A到集合B的一個函數(shù).記作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自變量,x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域;與x的值相對應(yīng)的y值叫做函數(shù)值,函數(shù)值的集合{f(x)|x∈A}叫做函數(shù)的值域.

  注意:2如果只給出解析式y(tǒng)=f(x),而沒有指明它的定義域,則函數(shù)的定義域即是指能使這個式子有意義的實數(shù)的集合;3函數(shù)的定義域、值域要寫成集合或區(qū)間的形式.

  定義域補充

  能使函數(shù)式有意義的實數(shù)x的集合稱為函數(shù)的定義域,求函數(shù)的定義域時列不等式組的主要依據(jù)是:(1)分式的分母不等于零;(2)偶次方根的被開方數(shù)不小于零;(3)對數(shù)式的真數(shù)必須大于零;(4)指數(shù)、對數(shù)式的底必須大于零且不等于1.(5)如果函數(shù)是由一些基本函數(shù)通過四則運算結(jié)合而成的.那么,它的定義域是使各部分都有意義的x的值組成的集合.(6)指數(shù)為零底不可以等于零(6)實際問題中的函數(shù)的定義域還要保證實際問題有意義.

  構(gòu)成函數(shù)的三要素:定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域

  再注意:(1)構(gòu)成函數(shù)三個要素是定義域、對應(yīng)關(guān)系和值域.由于值域是由定義域和對應(yīng)關(guān)系決定的,所以,如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,即稱這兩個函數(shù)相等(或為同一函數(shù))(2)兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致,而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關(guān)。相同函數(shù)的判斷方法:①表達式相同;②定義域一致(兩點必須同時具備)

  值域補充

  (1)、函數(shù)的值域取決于定義域和對應(yīng)法則,不論采取什么方法求函數(shù)的值域都應(yīng)先考慮其定義域.(2).應(yīng)熟悉掌握一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)及各三角函數(shù)的值域,它是求解復(fù)雜函數(shù)值域的基礎(chǔ)。

  3.函數(shù)圖象知識歸納

  (1)定義:在平面直角坐標系中,以函數(shù)y=f(x),(x∈A)中的x為橫坐標,函數(shù)值y為縱坐標的點P(x,y)的集合C,叫做函數(shù)y=f(x),(x∈A)的圖象.

  C上每一點的坐標(x,y)均滿足函數(shù)關(guān)系y=f(x),反過來,以滿足y=f(x)的每一組有序?qū)崝?shù)對x、y為坐標的點(x,y),均在C上.即記為C={P(x,y)|y=f(x),x∈A}

  圖象C一般的是一條光滑的連續(xù)曲線(或直線),也可能是由與任意平行與Y軸的直線最多只有一個交點的若干條曲線或離散點組成。

  (2)畫法

  A、描點法:根據(jù)函數(shù)解析式和定義域,求出x,y的一些對應(yīng)值并列表,以(x,y)為坐標在坐標系內(nèi)描出相應(yīng)的點P(x,y),最后用平滑的曲線將這些點連接起來.

  B、圖象變換法(請參考必修4三角函數(shù))

  常用變換方法有三種,即平移變換、伸縮變換和對稱變換

  (3)作用:

  1、直觀的看出函數(shù)的性質(zhì);2、利用數(shù)形結(jié)合的方法分析解題的思路。提高解題的速度。

高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)11

  冪函數(shù)的性質(zhì):

  對于a的取值為非零有理數(shù),有必要分成幾種情況來討論各自的特性:

  首先我們知道如果a=p/q,q和p都是整數(shù),則x^(p/q)=q次根號(x的p次方),如果q是奇數(shù),函數(shù)的定義域是R,如果q是偶數(shù),函數(shù)的定義域是[0,+∞)。當指數(shù)n是負整數(shù)時,設(shè)a=—k,則x=1/(x^k),顯然x≠0,函數(shù)的定義域是(—∞,0)∪(0,+∞)。因此可以看到x所受到的限制來源于兩點,一是有可能作為分母而不能是0,一是有可能在偶數(shù)次的根號下而不能為負數(shù),那么我們就可以知道:

  排除了為0與負數(shù)兩種可能,即對于x>0,則a可以是任意實數(shù);

  排除了為0這種可能,即對于x<0x="">0的所有實數(shù),q不能是偶數(shù);

  排除了為負數(shù)這種可能,即對于x為大于且等于0的所有實數(shù),a就不能是負數(shù)。

  總結(jié)起來,就可以得到當a為不同的數(shù)值時,冪函數(shù)的定義域的不同情況如下:如果a為任意實數(shù),則函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);

  如果a為負數(shù),則x肯定不能為0,不過這時函數(shù)的定義域還必須根據(jù)q的奇偶性來確定,即如果同時q為偶數(shù),則x不能小于0,這時函數(shù)的定義域為大于0的所有實數(shù);如果同時q為奇數(shù),則函數(shù)的定義域為不等于0的所有實數(shù)。

  在x大于0時,函數(shù)的值域總是大于0的實數(shù)。

  在x小于0時,則只有同時q為奇數(shù),函數(shù)的值域為非零的實數(shù)。

  而只有a為正數(shù),0才進入函數(shù)的值域。

  由于x大于0是對a的任意取值都有意義的,因此下面給出冪函數(shù)在第一象限的各自情況。

  可以看到:

  (1)所有的圖形都通過(1,1)這點。

  (2)當a大于0時,冪函數(shù)為單調(diào)遞增的,而a小于0時,冪函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)。

  (3)當a大于1時,冪函數(shù)圖形下凹;當a小于1大于0時,冪函數(shù)圖形上凸。

  (4)當a小于0時,a越小,圖形傾斜程度越大。

  (5)a大于0,函數(shù)過(0,0);a小于0,函數(shù)不過(0,0)點。

  (6)顯然冪函數(shù)。

  解題方法:換元法

  解數(shù)學(xué)題時,把某個式子看成一個整體,用一個變量去代替它,從而使問題得到簡化,這種方法叫換元法。換元的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化,關(guān)鍵是構(gòu)造元和設(shè)元,理論依據(jù)是等量代換,目的是變換研究對象,將問題移至新對象的知識背景中去研究,從而使非標準型問題標準化、復(fù)雜問題簡單化,變得容易處理。

  換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量,可以把分散的條件聯(lián)系起來,隱含的條件顯露出來,或者把條件與結(jié)論聯(lián)系起來。或者變?yōu)槭煜さ男问剑褟?fù)雜的計算和推證簡化。

  它可以化高次為低次、化分式為整式、化無理式為有理式、化超越式為代數(shù)式,在研究方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列、三角等問題中有廣泛的應(yīng)用。

  練習(xí)題:

  1、若f(x)=x2—x+b,且f(log2a)=b,log2[f(a)]=2(a≠1)。

  (1)求f(log2x)的最小值及對應(yīng)的x值;

  (2)x取何值時,f(log2x)>f(1)且log2[f(x)]

  2、已知函數(shù)f(x)=3x+k(k為常數(shù)),A(—2k,2)是函數(shù)y=f—1(x)圖象上的點。

  (1)求實數(shù)k的值及函數(shù)f—1(x)的解析式;

  (2)將y=f—1(x)的圖象按向量a=(3,0)平移,得到函數(shù)y=g(x)的圖象,若2f—1(x+—3)—g(x)≥1恒成立,試求實數(shù)m的取值范圍。

高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)12

  棱錐

  棱錐的定義:有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,這些面圍成的幾何體叫做棱錐

  棱錐的的性質(zhì):

  (1)側(cè)棱交于一點。側(cè)面都是三角形

  (2)平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠棱錐高的比的平方

  正棱錐

  正棱錐的定義:如果一個棱錐底面是正多邊形,并且頂點在底面內(nèi)的射影是底面的中心,這樣的棱錐叫做正棱錐。

  正棱錐的性質(zhì):

  (1)各側(cè)棱交于一點且相等,各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等,它叫做正棱錐的斜高。

  (3)多個特殊的直角三角形

  esp:

  a、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐,由三垂線定理可得頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。

  b、四面體中有三對異面直線,若有兩對互相垂直,則可得第三對也互相垂直。且頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。

高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)13

  集合間的基本關(guān)系

  1.“包含”關(guān)系—子集

  注意: 有兩種可能(1)A是B的一部分,;(2)A與B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,記作A B或B A

  2.“相等”關(guān)系(5≥5,且5≤5,則5=5)

  實例:設(shè) A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同”

  結(jié)論:對于兩個集合A與B,如果集合A的任何一個元素都是集合B的元素,同時,集合B的任何一個元素都是集合A的元素,我們就說集合A等于集合B,即:A=B

  A?① 任何一個集合是它本身的子集。A

  B那就說集合A是集合B的真子集,記作A B(或B A)?B,且A?②真子集:如果A

  C?C ,那么 A?B, B?③如果 A

  A 那么A=B?B 同時 B?④ 如果A

  3. 不含任何元素的集合叫做空集,記為Φ

  規(guī)定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

  集合的運算

  1.交集的定義:一般地,由所有屬于A且屬于B的元素所組成的集合,叫做A,B的交集.

  記作A∩B(讀作”A交B”),即A∩B={x|x∈A,且x∈B}.

  2、并集的定義:一般地,由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,叫做A,B的并集。記作:A∪B(讀作”A并B”),即A∪B={x|x∈A,或x∈B}.

  3、交集與并集的性質(zhì):A∩A = A, A∩φ= φ, A∩B = B∩A,A∪A = A, A∪φ= A ,A∪B = B∪A.

  4、全集與補集

  (1)補集:設(shè)S是一個集合,A是S的一個子集(即 ),由S中所有不屬于A的元素組成的集合,叫做S中子集A的補集(或余集)

  A}?S且 x? x?記作: CSA 即 CSA ={x

  (2)全集:如果集合S含有我們所要研究的各個集合的全部元素,這個集合就可以看作一個全集。通常用U來表示。

  (3)性質(zhì):⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶(CUA)∪A=U

高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)14

  直線和平面垂直

  直線和平面垂直的定義:如果一條直線a和一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,我們就說直線a和平面互相垂直.直線a叫做平面的垂線,平面叫做直線a的垂面。

  直線與平面垂直的判定定理:如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,那么這條直線垂直于這個平面。

  直線與平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直線同垂直于一個平面,那么這兩條直線平行。③直線和平面平行——沒有公共點

  直線和平面平行的定義:如果一條直線和一個平面沒有公共點,那么我們就說這條直線和這個平面平行。

  直線和平面平行的判定定理:如果平面外一條直線和這個平面內(nèi)的一條直線平行,那么這條直線和這個平面平行。

  直線和平面平行的性質(zhì)定理:如果一條直線和一個平面平行,經(jīng)過這條直線的平面和這個平面相交,那么這條直線和交線平行。

  多面體

  1、棱柱

  棱柱的定義:有兩個面互相平行,其余各面都是四邊形,并且每兩個四邊形的公共邊都互相平行,這些面圍成的幾何體叫做棱柱。

  棱柱的性質(zhì)

  (1)側(cè)棱都相等,側(cè)面是平行四邊形

  (2)兩個底面與平行于底面的截面是全等的多邊形

  (3)過不相鄰的兩條側(cè)棱的截面(對角面)是平行四邊形

  2、棱錐

  棱錐的定義:有一個面是多邊形,其余各面都是有一個公共頂點的三角形,這些面圍成的幾何體叫做棱錐

  棱錐的性質(zhì):

  (1)側(cè)棱交于一點。側(cè)面都是三角形

  (2)平行于底面的截面與底面是相似的多邊形。且其面積比等于截得的棱錐的高與遠棱錐高的比的平方

  3、正棱錐

  正棱錐的定義:如果一個棱錐底面是正多邊形,并且頂點在底面內(nèi)的射影是底面的中心,這樣的棱錐叫做正棱錐。

  正棱錐的性質(zhì):

  (1)各側(cè)棱交于一點且相等,各側(cè)面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底邊上的高相等,它叫做正棱錐的斜高。

  (3)多個特殊的直角三角形

  a、相鄰兩側(cè)棱互相垂直的正三棱錐,由三垂線定理可得頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。

  b、四面體中有三對異面直線,若有兩對互相垂直,則可得第三對也互相垂直。且頂點在底面的射影為底面三角形的垂心。

高一數(shù)學(xué)知識點總結(jié)15

  一:函數(shù)及其表示

  知識點詳解文檔包含函數(shù)的概念、映射、函數(shù)關(guān)系的判斷原則、函數(shù)區(qū)間、函數(shù)的三要素、函數(shù)的定義域、求具體或抽象數(shù)值的函數(shù)值、求函數(shù)值域、函數(shù)的表示方法等

  1. 函數(shù)與映射的區(qū)別:

  2. 求函數(shù)定義域

  常見的用解析式表示的函數(shù)f(x)的定義域可以歸納如下:

  ①當f(x)為整式時,函數(shù)的定義域為R.

  ②當f(x)為分式時,函數(shù)的定義域為使分式分母不為零的實數(shù)集合。

  ③當f(x)為偶次根式時,函數(shù)的定義域是使被開方數(shù)不小于0的實數(shù)集合。

  ④當f(x)為對數(shù)式時,函數(shù)的定義域是使真數(shù)為正、底數(shù)為正且不為1的實數(shù)集合。

  ⑤如果f(x)是由幾個部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的,那么函數(shù)定義域是使各部分式子都有意義的實數(shù)集合,即求各部分有意義的實數(shù)集合的交集。

  ⑥復(fù)合函數(shù)的定義域是復(fù)合的各基本的函數(shù)定義域的交集。

  ⑦對于由實際問題的背景確定的函數(shù),其定義域除上述外,還要受實際問題的制約。

  3. 求函數(shù)值域

  (1)、觀察法:通過對函數(shù)定義域、性質(zhì)的觀察,結(jié)合函數(shù)的解析式,求得函數(shù)的值域;

  (2)、配方法;如果一個函數(shù)是二次函數(shù)或者經(jīng)過換元可以寫成二次函數(shù)的形式,那么將這個函數(shù)的右邊配方,通過自變量的范圍可以求出該函數(shù)的值域;

  (3)、判別式法:

  (4)、數(shù)形結(jié)合法;通過觀察函數(shù)的圖象,運用數(shù)形結(jié)合的方法得到函數(shù)的值域;

  (5)、換元法;以新變量代替函數(shù)式中的某些量,使函數(shù)轉(zhuǎn)化為以新變量為自變量的函數(shù)形式,進而求出值域;

  (6)、利用函數(shù)的單調(diào)性;如果函數(shù)在給出的定義域區(qū)間上是嚴格單調(diào)的,那么就可以利用端點的函數(shù)值來求出值域;

  (7)、利用基本不等式:對于一些特殊的分式函數(shù)、高于二次的函數(shù)可以利用重要不等式求出函數(shù)的值域;

  (8)、最值法:對于閉區(qū)間[a,b]上的連續(xù)函數(shù)y=f(x),可求出y=f(x)在區(qū)間[a,b]內(nèi)的極值,并與邊界值f(a).f(b)作比較,求出函數(shù)的最值,可得到函數(shù)y的值域;

  (9)、反函數(shù)法:如果函數(shù)在其定義域內(nèi)存在反函數(shù),那么求函數(shù)的值域可以轉(zhuǎn)化為求反函數(shù)的定義域。

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