數學課堂的數學味

作者:富源縣大河鎮腦上小學   楊 波

在幾年來的教學實踐與探索中，我始終注重數學課堂的數學味研究，在教學中不斷挖掘、呈現、彰顯數學內容自身的數學味。下面舉幾則案例，談談自己的一點教學體會。

一、“交換律”一課的教學實踐。如果單純地由具體現實情境引出3+6=6+3，并引發學生形成猜想：“是否任意兩數相加，交換位置后和都不變?”進而引導學生通過舉例，試圖驗證猜想，并最終得出相應的結論。雖然這個教學過程輪廓清晰，思路涇渭分明，探討的主要問題也基本在數學范疇內展開，但不能充分體現數學課堂的數學味。我們要做更進一步的思考，即數學課堂上的數學味顯然不應該僅停留在表層，應該注重數學內容、數學方法及數學思想的實質等更里層問題的探討。從而，在試圖對本課進行重新梳理時，下述問題自然就成了我關注的興奮點：“由僅有的一個例子鼓勵學生提出猜想是否適宜?”“什么是數學上的不完全歸納法?”“對四年級學生來說，試圖用不完全歸納法獲得結論，舉出多少個例子比較合適?”“例子越多越好嗎?”“怎樣的例子是好的例子，怎樣的例子是不好的例子?”“舉例驗證猜想時，我們要不要關注反例?反例對猜想意味著什么?”進而，“舉例的過程僅僅是一個模仿與復制的過程，還是一個主動思考并進行試探與甄別的過程?”“經由不完全歸納法所給出的能不能算作結論?如果不算，小學課堂該不該引入必要的證明?”在具體的教學語境中，好的數學味一定還伴隨著必要的兒童視角和立場!

二、“分數的意義”一課的教學實踐。一節經典的老課，教學線索與理路也基本定型。但在試圖對數學內涵進行深入梳理時，不經意間卻被幾個小問題所梗住：把單位“1”平均分成若干份，表示其中一份或幾份的數是分數，這是分數意義的形式化表達，可這里的單位“1”究竟是什么?數學上，為什么我們把這些平均分的對象叫做單位“1”，而不是別的什么名稱，比如整體“1”或是對象“1”?稱其單位“1”究竟只是一種純粹的數學規定，還是另有其數學的合理性?進而，與百分數不同的是，分數既可以表示兩個量之間的倍比關系，還可以表示一個具體的數，用數學上的專業術語來講，分數既有其無量綱性，同時還具有量綱性。事實上，理解到這一點，對于未來學生更深入地理解分數的實質，以及對分數直接進行大小比較(不提供直觀圖的情況下)、分數和小數的互化以及理解分數乘除法實際問題的數量關系等，無疑具有重要的意義。然而，反觀各版本教材，在安排這一內容時所選擇的素材與呈現的情境，仍局限在“部分與整體的關系”這單一的維度，即分數的無量綱性上，分數始終只是在“把整體看作1時，其中的一部分如何用數學符號來表征”的情境下得以呈現的，而其所理應具備的有量綱性的一面，卻未能在具體的教學編排中得到相應的體現。事實上，由無量綱性向著有量綱性的跨越對學生來說是有一定的難度的，默認這種跨越可以自然而然地生成，實際上缺乏理論的支撐，在實踐層面也不具備說服力。此外，教材在編排分數意義這一內容時，似乎對如何更好地溝通分數、1及整數之間的關系也缺乏必要的關注，從而，“分數的意義”一課在許多時候還只停留在就分數論分數的層面，對于如何促進學生更好地形成有關數的整體認知圖景，還缺乏相應的實踐指導。

由此，筆者執教這一內容時，由對單位“1”的探討引入：先引導學生認識“1”這個數的包容性，即所謂“1個梨可以看做1，3個梨也能看做1，6個、12個梨同樣能看做1”。然后經由討論，使他們進一步理解到，一旦在某一語境下，我們將3個梨看做了“1”，那么，6個或12個梨通常就不再看做“1”，而應該看做“2”或“4”了。理由很簡單，3個梨既已看做“1”，6個梨中包含2個這樣的“1”，當然就是“2”，12個梨亦然。事實上，在上述情境及過程中，我們已然發現，3個梨所構成的“1”其實已經成為一個計數或計量的單位，此時，稱其為單位“1”已是自然而然的事了。

三、“平均數”一課的教學實踐。作為反映一組數據整體水平的一種統計量，平均數與眾數及中位數既有相似之處，又有明顯的不同。無疑，如何將平均數置于統計的角度來審視，并努力開掘出其應有的統計意義與價值，當是這節課首要關注的問題。教材多采取“比較”的情境，由于“兩組人數不均的小組開展相應比賽，比總數不公平，所以應比平均每人的個數”，由此引入平均數。但在備課過程中，隨著思考的不斷深入，新的問題不斷涌現。首先，作為一個重要的統計學概念，平均數是否首先或主要地源自于比較的現實需求?其次，“平均每人投中的個數”和“每人投中個數的平均數”之間是否可以直接畫上等號?再者，平均數既是統計學中的一個重要概念，那么，其誕生理應處于一個統計的活動背景之中，這是比較合理的一種預期。為此，設計教學時，我微調了教材中的情境結構，通過呈現如下的活動序列，將平均數重新置于統計背景下，并力圖還原其作為“一組數據的代表”的角色與身份，再現平均數的本來面目。

    老師和小明、小紅、小強進行一分鐘投籃賽，以每分鐘進球多少論勝負。

小明先投，結果一分鐘僅投中5個，他不滿意自己的成績，提出想再投兩次的要求。老師該不該同意他的要求?經過討論并最終獲得同意后，小明再投，結果第二、三分鐘均投中5個。此時引導思考：小明一分鐘究竟能投中幾個?用哪個數表示他一分鐘的成績比較合適?為什么?

小紅第二個出場，結果一分鐘投中3個，他會提出怎樣的要求?當征得同意后，他第二、第三分鐘分別投中4個、5個。引導思考：3次成績各不相同，用哪個數表示小剛一分鐘的個數比較合適?為什么?

小強第三個出場，3分鐘各投中3個、7個和2個。此時，又該用哪個數表示他一分鐘的水平?為什么?至此，在“移多補少”的直觀操作和“先合并再均分”的抽象算法的基礎上，揭示平均數，并幫助學生認識到平均數對于描述一組數據的整體水平的意義。

老師最后出場，一開始便提出“水平不行，想投4次”的打算，如果是你，你會同意老師的請求嗎?在征得同意后，老師前3分鐘的成績分別是4個、6個、5個，你覺得最后老師會贏得這場比賽嗎?為什么?出示第四次成績(1個)后，學生再度討論：老師贏了沒有?為什么輸了?如果最后一次投中5個或者9個，結果會怎樣?等等。至此，概念建立告一段落。

回顧上述環節，同樣是比賽的主題情境，但其根本立場和視角已然發生轉變。其一，由于相關數據是由同一個體所產生，求其總數顯然不具備充分的現實意義，而相對來說，從產生的這組數據中選擇一個或“另外創造”一個以代表這組數據的一般水平，對學生而言似乎更容易理解。其二，情境中大量充斥著“他想再投兩次，該不該給他這個機會?”“老師想多投一分鐘，行還是不行?”“你覺得老師最后一定會贏嗎?”“最后，老師為什么反而輸了?”這樣的問題，看似與平均數無關，但實則高度相關。僅以第一問為例，當小明一分鐘投完僅得5個時，我們究竟該不該讓他再投兩分鐘?試想，當學生最終通過討論與思維交鋒，同意小明的這一請求時，對學生而言，這究竟意味著什么?--投籃的次數并不是決定最后輸贏的關鍵要素，多次成績背后所呈現出的一組數據的分布、離散情況及其所反映出的一般水平，才最終決定著一個人的實際水平，并最終決定著他的輸贏。試想，經由這樣的思考、獲得類似的體驗后，學生如何能夠不對平均數獲得更為豐富的理解和把握呢?

同樣在對教學內容進行深入思考與內涵開掘后，本課選擇了以兒童能夠悅納的一種姿態介入--游戲、討論、對話、思辨。盡管教師于其中也有竭力想傳達和滲透的教學意圖和數學內涵，但避開了抽象的說教和示范，而是選擇了以一種更具親和力、更富情境化的思維場域，讓學生在思考、交流的過程中去獲得相關體驗、領悟相關意圖、獲得某種建構。具有良好數學內涵的課堂，一定是深入淺出的，它能夠將教師領悟到的深刻的數學理解以一種平和的、學生可以理解并悅納的姿態介入課堂活動，并努力在數學內涵與兒童趣味之間找到一種良好的平衡。

    作者簡介：楊波，女，漢族，出生于1982年3月，中共黨員，云南省富源縣竹園鎮人，小學一級教師，本科文化，西南師范大學漢語言文學專業，現在富源縣大河鎮腦上小學任教，教學科目為五年級數學。