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數(shù)學(xué)文化小報(bào)資料
數(shù)學(xué)作為一種文化現(xiàn)象，早已是人們的常識(shí)。從歷史上看， 古希臘和文藝復(fù)興時(shí)期的文化名人，往往本身就是數(shù)學(xué)家。下面是小編收集的數(shù)學(xué)文化小報(bào)資料，希望大家認(rèn)真閱讀！
數(shù)學(xué)文化小報(bào)資料
數(shù)學(xué)傳統(tǒng)最悠久的國家
中國數(shù)學(xué)一開始便注重實(shí)際應(yīng)用，在實(shí)踐中逐步完善和發(fā)展，形成了一套完全是自己獨(dú)創(chuàng)的方式和方法。形數(shù)結(jié)合，以算為主，使用算器，建立一套算法體系是中國數(shù)學(xué)的顯著特色；“寓理于算”和理論的高度精煉，是中國數(shù)學(xué)理論的重要特征。
10進(jìn)位位值制、甲子紀(jì)年法、規(guī)矩作圖等有強(qiáng)大的生命力，經(jīng)歷三四千年沿用至今，充分說明了中國是數(shù)學(xué)傳統(tǒng)最悠久的國家。
在中國數(shù)學(xué)的形成時(shí)期的第二階段，中國與印度有著文化交流，中國古代的算術(shù)和代數(shù)學(xué)對(duì)印度數(shù)學(xué)有很大的影響。后者也偏重于量與數(shù)的計(jì)算方法，通過阿拉伯傳到歐洲后，放出異常的光彩。西洋數(shù)學(xué)史家一般認(rèn)為近代數(shù)學(xué)的產(chǎn)生應(yīng)歸功于印度數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)，實(shí)際上中國古代數(shù)學(xué)的功績(jī)是不可磨滅的。
在原始社會(huì)后期，我們的祖先就已經(jīng)建立了10進(jìn)制，至遲到春秋戰(zhàn)國之際，在計(jì)算中又普遍使用了算籌。在數(shù)學(xué)上，僅就發(fā)明完善的10進(jìn)位位值制這一記數(shù)法來說，中國對(duì)人類文化已經(jīng)做出了非常重大的貢獻(xiàn)，可以與“四大發(fā)明”相媲美。馬克思稱10進(jìn)位位值記數(shù)法為“最妙的發(fā)明之一”，李約瑟在《中國科學(xué)技術(shù)史》中說：“奇怪的是，忠實(shí)于表意原則而不使用字母的文化，反而發(fā)展了現(xiàn)代人類普遍使用的10進(jìn)位的最早形式，如果沒有這種10進(jìn)位制，就幾乎不可能出現(xiàn)我們現(xiàn)在這個(gè)統(tǒng)一化的世界了”。
有史可考的確鑿證據(jù)是，公元前14世紀(jì)的殷代甲骨文卜辭中的很多記數(shù)的文字。大于10的自然數(shù)都用10進(jìn)位制，沒有例外。殷人向后世人一樣，用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬13個(gè)單字記10萬以內(nèi)的任何自然數(shù)。例如記2656作“二千六百五十六”，只是記數(shù)文字的形體和后世的文字有所不同。也用合文，但字形同甲骨文不一樣。
用算籌來記數(shù)和作四則運(yùn)算，很可能在西周時(shí)期(公元前11世紀(jì)到公元前8世紀(jì))已經(jīng)開始了。由于社會(huì)生產(chǎn)力的不斷提高，勞動(dòng)人民創(chuàng)造了便于計(jì)算的工具。算籌是為了進(jìn)行繁雜的數(shù)字計(jì)算工作而創(chuàng)造出來的，它不可能是原始公社時(shí)期里(例如傳說中的黃帝時(shí)代)的產(chǎn)物。
算籌一般是由竹制成的簽子。秦以前算籌的粗細(xì)、長(zhǎng)短因史科缺乏，現(xiàn)在無法考證。公元1世紀(jì)時(shí)，漢代的算籌長(zhǎng)合13.8厘米，徑合0.69厘米；公元7世紀(jì)時(shí)，隋代的算籌長(zhǎng)約合8.85厘米，廣約合0.59厘米。可見計(jì)算用的算籌漸漸改得短小，運(yùn)用起來比較方便。
古代算籌的功用大致和后世的算盤珠相仿。5以下的數(shù)目，用幾根籌表示幾；6、7、8、9四個(gè)數(shù)目，用一根籌放在上面表示五，余下來的數(shù)，每一根籌表示一。表示數(shù)目的算籌有縱橫兩種方式，表示一個(gè)多位數(shù)就象現(xiàn)在用數(shù)碼記數(shù)一樣，把各位的數(shù)目從左到右橫列，但各位數(shù)目的等式須要縱橫相間。個(gè)位數(shù)用縱式表示，十位數(shù)用橫式表示，百位、萬位用縱式，千位、十萬位用橫式。算籌記數(shù)的縱橫相間制傳到宋元時(shí)期沒有改變。
算籌記數(shù)確實(shí)能夠?qū)嵭形恢抵朴洈?shù)法，為加、減、乘、除等的運(yùn)算建立起良好的條件。優(yōu)越的10進(jìn)位位值制記數(shù)法和當(dāng)時(shí)較為先進(jìn)的籌算制，使中國數(shù)學(xué)在計(jì)算方面取得了一系列輝煌的'成就：公元前3世紀(jì)～公元3世紀(jì)(秦漢時(shí))的分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算，比例算法，開平方與開立方，盈不足術(shù)，“方程”解法，正負(fù)數(shù)運(yùn)算法則；5世紀(jì)的孫子剩余定理，祖沖之圓周率的測(cè)算；7世紀(jì)的3次方程數(shù)值解法，7～8世紀(jì)的內(nèi)插法；11～14世紀(jì)的高次方程數(shù)值解法，賈憲三角，高次方程組的解法，大衍求一術(shù)，高階等差級(jí)數(shù)求和；13世紀(jì)以后的珠算，等等。
中國古代數(shù)學(xué)稱為“算術(shù)”，其原始意義是運(yùn)用算籌的技術(shù)。這個(gè)名稱恰當(dāng)?shù)馗爬酥袊鴶?shù)學(xué)的傳統(tǒng)。籌算不只限于簡(jiǎn)單的數(shù)值計(jì)算，后來方程所列籌式描述了比例問題和線性問題；天元、四元所列籌式刻畫了高次方程問題。等式本身就具有代數(shù)符號(hào)的性質(zhì)。
對(duì)于中國數(shù)學(xué)中的程序化計(jì)算，最近越來越多地引起了國內(nèi)外有關(guān)專學(xué)的興趣和注意。有人形象地把算籌比喻為計(jì)算機(jī)的硬件，而表示算法的“術(shù)文”則是軟件。可見中國數(shù)學(xué)傳統(tǒng)活力源遠(yuǎn)流長(zhǎng)。
下面再和幾個(gè)文明古國作一對(duì)比，以開闊眼界。
古代埃及人雖然己采用了10進(jìn)位制的數(shù)學(xué)符號(hào)，可是他們?nèi)狈ξ恢抵频母拍睿恢乐貜?fù)用最初的九個(gè)數(shù)字加上位值成分來構(gòu)成更高的位數(shù)。他們對(duì)所有的數(shù)字，都是按順序重復(fù)寫出每位數(shù)的基本符號(hào)(即用累積法)；古巴比倫人主要采用60進(jìn)位制；古希臘人用24個(gè)希臘字母加上3個(gè)外來字母來記數(shù)，十分落后；古羅馬人采用10進(jìn)位制和5進(jìn)位制相結(jié)合的符號(hào)系統(tǒng)，計(jì)算起來繁瑣而困難；古印度人在3世紀(jì)以前使用的記數(shù)法與希臘式和羅馬式相類似，都不是位值創(chuàng)。直到6世紀(jì)末，印度才真正開始使用10進(jìn)位位值記數(shù)法，7世紀(jì)開始傳入阿拉伯國家。
零號(hào)“0”最早出現(xiàn)于683年中、印文化區(qū)交界處的記有年代的碑文中。中國古代原習(xí)慣用“口”形表示脫落文字，記數(shù)時(shí)就用“口”表示空位，后來為了書寫方便把“口”形改為“0”形，這是很自然的發(fā)展趨勢(shì)。在數(shù)學(xué)上，從無開始記數(shù)，“0”這個(gè)符號(hào)使整個(gè)世界為之改觀。
8世紀(jì)，阿拉伯人入侵西班牙，開始把印度—阿拉伯?dāng)?shù)碼傳到歐洲。現(xiàn)在使用的最完美的印度—阿拉伯記數(shù)法，是印度人首先創(chuàng)造的，但是它明顯地有著中國古代的影響。
最大數(shù)字的表示法
在古代人的心目中，對(duì)那些很大的數(shù)目字。如天上星星的顆數(shù)，岸邊砂子的粒數(shù)，一場(chǎng)傾盆大雨落下的雨滴數(shù)等等，他們無以名之，只好籠統(tǒng)地說是“不計(jì)其數(shù)”了。
首先提出記述龐大數(shù)字的人是公元前3世紀(jì)古希臘的數(shù)學(xué)家兼物理學(xué)家阿基米德，他在其名著《砂粒計(jì)數(shù)》中所提出的方法，同現(xiàn)代科中表達(dá)大數(shù)目字的方法很類似。
他從當(dāng)時(shí)古希臘算術(shù)中最大的數(shù)“萬”開始，引進(jìn)一個(gè)新數(shù)“萬萬”（億）作為第二階單位，然后是“億億”（第三階單位），“億億億”（第四階單位）等等。
印度的大乘佛教中也有許多表示巨大數(shù)字的名稱，如“恒河沙”、“那由他”等等，最大的一個(gè)名叫“阿僧抵”。據(jù)說相當(dāng)于10110。
在英文中通常用centillion表示最大的數(shù)字，其意思就是在1的`后面再加600個(gè)零。較此更大的數(shù)便得用文字來說明。有人還設(shè)計(jì)出一個(gè)單詞milli—millimillillion，其意為10的60億次方，也可叫Megiston，這個(gè)字普通用記號(hào)⑩來表示。但是因?yàn)檫@個(gè)數(shù)字實(shí)在太龐大了，所以已經(jīng)沒有什么實(shí)質(zhì)的意義。目前可觀察到的這部分宇宙（即總星系）中，質(zhì)子和中子的全部總數(shù)也不過是1080而已！已故的美國哥倫比亞大學(xué)教授、數(shù)學(xué)家愛德華·卡斯納創(chuàng)立了一個(gè)表示大數(shù)的詞，叫做googol，它相當(dāng)于10100，從1010到10100則稱為googol群。
在數(shù)學(xué)界已為人相當(dāng)熟悉的最大數(shù)字，根據(jù)其創(chuàng)立者的姓，取名為Skewes，這個(gè)數(shù)是10的10次方的10次方的3次方。首先提出的人史丘斯（Skewes）現(xiàn)系南非開普頓大學(xué)教授，他于1933年及1955年在兩篇有關(guān)素?cái)?shù)的論文中提到過它。
我國古代珠算、籌算的歷史
我國古代數(shù)學(xué)以計(jì)算為主，取得了十分輝煌的成就。其中十進(jìn)位值制記數(shù)法、籌算和珠算在數(shù)學(xué)發(fā)展中所起的作用和顯示出來的優(yōu)越性，在世界數(shù)學(xué)史上也是值得稱道的。
十進(jìn)位值制記數(shù)法曾經(jīng)被馬克思（1818—1883）稱為“最妙的發(fā)明之一”①。
從有文字記載開始，我國的記數(shù)法就遵循十進(jìn)制。殷代的甲骨文和西周的鐘鼎文都是用一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、萬等字的合文來記十萬以內(nèi)的自然數(shù)的。例如二千六百五十六寫作（甲骨文），六百五十九寫作（鐘鼎文）。這種記數(shù)法含有明顯的位值制意義，實(shí)際上，只要把“千”、“百”、“十”和“又”的字樣取消，便和位值制記數(shù)法基本一樣了。
春秋戰(zhàn)國時(shí)期是我國從奴隸制轉(zhuǎn)變到封建制的時(shí)期，生產(chǎn)的迅速發(fā)展和科學(xué)技術(shù)的進(jìn)步提出了大量比較復(fù)雜的數(shù)字計(jì)算問題。為了適應(yīng)這種需要，勞動(dòng)人民創(chuàng)造了一種十分重要的計(jì)算方法——籌算。我們認(rèn)為籌算是完成千春秋戰(zhàn)國時(shí)期，理由是：第一，春秋戰(zhàn)國時(shí)期，農(nóng)業(yè)、商業(yè)和天文歷法方面有了飛躍的發(fā)展，在這些領(lǐng)域中，出現(xiàn)了大量比以前復(fù)雜得多的計(jì)算問題。由于井田制的廢除，各種形狀的私田相繼出現(xiàn)，并相應(yīng)實(shí)行按畝收稅的制度，這就需要計(jì)算復(fù)雜形狀的土地面積和產(chǎn)量：商業(yè)貿(mào)易的增加和貨幣的廣泛使用，提出了大量比例換算的問題，適應(yīng)當(dāng)時(shí)農(nóng)業(yè)需要的厲法，要計(jì)算多位數(shù)的乘法和除法。為了解決這些復(fù)雜的計(jì)算問題，才創(chuàng)造出計(jì)算工具算籌和計(jì)算方法籌算。第二，現(xiàn)有的文獻(xiàn)和文物也證明籌算出現(xiàn)在春秋戰(zhàn)國時(shí)期。例如“算”和“籌”二字出現(xiàn)在春秋戰(zhàn)國時(shí)期的著作（如《儀禮》、《孫子》、《老子》、《法經(jīng)》、《管子》、《荀子》等）中，甲骨文和鐘鼎文中到現(xiàn)在仍沒有見到這兩個(gè)字。一二三以外的籌算數(shù)字最早出現(xiàn)在戰(zhàn)國時(shí)期的貨幣（刀、布）上。《老子》提到：“善計(jì)者不用籌策”，可見這時(shí)籌算已經(jīng)比較普遍了。因此我們說籌算是完成干春秋戰(zhàn)國時(shí)期。這并不否認(rèn)在春秋戰(zhàn)國時(shí)期以前就有簡(jiǎn)單的算籌記數(shù)和簡(jiǎn)單的四則運(yùn)算。
關(guān)于算籌形狀和大小，最早見于《漢書·律歷志》。根據(jù)記載，算籌是直徑一分（合○·二三厘米）、長(zhǎng)六寸（合一三·八六厘米）的圓形竹棍，以二百七十一根為一“握”。南北朝時(shí)期公元六世紀(jì)《數(shù)術(shù)記遺》和《隋書· 律歷志》記載的算籌，長(zhǎng)度縮短，并且把圓的改成方的或扁的。這種改變是容易理解的：長(zhǎng)度縮短是為了縮小布算所占的面積，以適應(yīng)更加復(fù)雜的計(jì)算；圓的改戌方的或扁的是為了避免圓形算籌容易滾動(dòng)而造成錯(cuò)誤。根據(jù)文獻(xiàn)的記載，算籌除竹籌外，還有木籌、鐵籌、玉籌和牙籌，還有盛裝算籌的算袋和算子筒。唐代曾經(jīng)規(guī)定，文武官員必須攜帶算袋。1971年八月中旬，在陜西寶雞市千陽縣第一次發(fā)現(xiàn)西漢宣帝時(shí)期（公元前73年到前49年）的骨制算籌三十多根，大小長(zhǎng)短和《漢書·律歷志》的記載基本相同。1975年上半年在湖北江陵鳳凰山一六八號(hào)漢墓又發(fā)現(xiàn)西漢文帝時(shí)期（公元前179年到前157年）的竹制算籌一束，長(zhǎng)度比千陽縣發(fā)現(xiàn)的算籌稍大一點(diǎn)。1980年九月，在石家莊市又發(fā)現(xiàn)東
漢初期（公元一世紀(jì)）的骨制算籌約三十根，長(zhǎng)度和形狀同《隋書·律歷志》的記載相近，這說明算籌長(zhǎng)度和形狀的改變?cè)缭跂|漢初期：已經(jīng)開始。算籌的出土，為研究我國數(shù)學(xué)發(fā)展史提供了可貴的實(shí)物資料。
籌算是以算籌作工具，擺成縱式的（）和橫式的（）兩種數(shù)字，按照縱橫相間（“一縱十橫，百立千僵”）的原則表示任何自然數(shù)（如六千七百零八表示為，遇到零的時(shí)候用空位表示），從而進(jìn)行加、減、乘、除、開方以及其他的代數(shù)計(jì)算。
籌算一出現(xiàn)，就嚴(yán)格遵循十進(jìn)位值制記數(shù)法。九以上的數(shù)就進(jìn)一位，同一個(gè)數(shù)字放在百位就是幾百，放在萬位就是幾萬。
算籌記數(shù)示意圖。圖上表示的數(shù)是一千九百七十一。
這種記數(shù)法，除所用的數(shù)字和現(xiàn)今通用的印度一阿拉伯?dāng)?shù)字形式不同外，和現(xiàn)在的記數(shù)法實(shí)質(zhì)是一樣偽。籌算是把算籌一面擺成數(shù)字，一面進(jìn)行計(jì)算，它的運(yùn)算程序和現(xiàn)今珠算的運(yùn)算程序基本相似。記述籌算記數(shù)法和運(yùn)算法則的著作有《孫子算經(jīng)》（公元四世紀(jì)）、《夏侯陽算經(jīng)》（公元五世紀(jì)）和《數(shù)術(shù)記遺》（公元六世紀(jì)）。負(fù)數(shù)出現(xiàn)后，算籌分成紅黑兩種，紅籌表示正數(shù)，黑籌表示負(fù)數(shù)。算籌還可以表示各種代數(shù)式，進(jìn)行各種代數(shù)運(yùn)算，方法和現(xiàn)今的分離系數(shù)法相似。我國古代在數(shù)字計(jì)算和代數(shù)學(xué)方面取得的輝煌成就，和籌算有密切的關(guān)系。例如祖沖之的圓周率準(zhǔn)確到小數(shù)第六位，需要計(jì)算正一萬二千二百八十八邊形的邊長(zhǎng)，把一個(gè)九位數(shù)進(jìn)行二十二次開平方（加、減、乘、除步驟除外），如果沒有十進(jìn)位值制的計(jì)算方法，那就會(huì)困難得多了。
古巴比侖的記數(shù)法雖然有位值制的意義，但是它是六十進(jìn)的，計(jì)算比較繁瑣。古埃及的數(shù)字從一到十只有兩個(gè)數(shù)字符號(hào)，從一百到一千萬有四個(gè)數(shù)字符號(hào)，而且是象形的，例如用一個(gè)鳥表示十萬。文化比較發(fā)達(dá)的古希臘，由于看重幾何，輕視計(jì)算，記數(shù)方法十分落后，用全部希臘字母表示一到一萬的數(shù)字，字母不夠的時(shí)候就在字母旁邊增加符號(hào)“‘”，如。α表示一千，β表示二千等。現(xiàn)在世界通用的印度一阿拉伯?dāng)?shù)字和記數(shù)法是印度古代人民創(chuàng)造的，但是印度在公元三世紀(jì)以前使用的記數(shù)法是希臘式和羅馬式兩種，都不是位值制，真正使用十進(jìn)位值制記數(shù)法出現(xiàn)在公元六世紀(jì)末。由此可見，我國古代的十進(jìn)位值制記數(shù)法和籌算，在世界數(shù)學(xué)史上應(yīng)該占有重要的地位。
籌算在我國古代用了大約兩千年，在生產(chǎn)和科學(xué)技術(shù)以至人民生活中，發(fā)揮了重大的作用。但是它的缺點(diǎn)也是十分明顯的：首先，在室外拿著一大把算籌進(jìn)行計(jì)算就很不方便；其次，計(jì)算數(shù)字的位數(shù)越多，所需要的面積越大，受環(huán)境和條件的限制；此外，當(dāng)計(jì)算速度加快的時(shí)候，很容易由于算籌擺弄不正而造成錯(cuò)誤。隨著社會(huì)的發(fā)展，計(jì)算技術(shù)要求越來越高，籌算需要改革，這是勢(shì)在必行的。這個(gè)改革從中唐以后的'商業(yè)實(shí)用算術(shù)開始，經(jīng)宋元出現(xiàn)大量的計(jì)算歌訣，到元末明初珠算的普遍應(yīng)用，歷時(shí)七百多年。《新唐書》和《宋史·藝文志》記載了這個(gè)時(shí)期出現(xiàn)的大量著作。由于封建統(tǒng)治階級(jí)對(duì)民間數(shù)學(xué)十分輕視，以致這些著作的絕大部分已經(jīng)失傳。從遺留下來的著作中可以看出，籌算的改革是從籌算的簡(jiǎn)化開始而不是從工具改革開始的，這個(gè)改革最后導(dǎo)致珠算的出現(xiàn)。
珠算是由籌算演變而來的，這是十分清楚的。籌算數(shù)字中，上面一根籌當(dāng)五，下面一根籌當(dāng)一，珠算盤中的上一珠也是當(dāng)五，下一珠也是當(dāng)一；由于籌算在乘、除法中出現(xiàn)某位數(shù)字等于十或多于十的情形（例如26532÷8，第一步就是“八二下加四”，就變成），所以珠算盤采用上二珠下五珠的形式。其次，我們可以證明，從楊輝、朱世杰開始到元末丁巨、何平子、賈亨止起除“起一”法外的全部現(xiàn)今通用的珠算歌訣，是為籌算而設(shè)的。楊輝的《乘除通變本末》（公元1274年）和朱世杰的《算學(xué)啟蒙》（公元1299年）已經(jīng)有相當(dāng)完備的歌訣，但是楊輝在《乘除通變本末》中說：“下算不出 ‘橫’‘直’”，其中“橫”“直”顯然是指算籌的縱橫排列，朱世杰在《算學(xué)啟蒙》中提到“知算縱橫數(shù)目真”，也是這個(gè)意思。《丁巨算法》（公元1355 年）、何平子的《詳明算法》（公元1373年）、賈亨的《算法全能》（約公元1373年）也有相當(dāng)完備的歸除歌訣，但是都沒有提到珠算，而《詳明算法》還有許多籌算算草。歌訣出現(xiàn)后，籌算原來存在的缺點(diǎn)就更突出了，歌訣的快捷和擺弄算籌的遲緩存在矛盾。為了得心應(yīng)手，勞動(dòng)人民便創(chuàng)造出更加先進(jìn)的計(jì)算工具 ——珠算盤。
現(xiàn)存文獻(xiàn)中最早提到珠算盤的是明初的《對(duì)相四言》。明代中期公元十五世紀(jì)中葉《魯班木經(jīng)》中有制造珠算盤的規(guī)格：“算盤式：一尺二寸長(zhǎng)，四寸二分大。框六分厚，九分大，……線上二子，一一寸一分；線下五子，三寸一分。長(zhǎng)短大小，看子而做。”把上二子和下五子隔開的不是木制的橫梁，而是一條線。比較詳細(xì)地說明珠算用法的現(xiàn)存著作有徐心魯?shù)摹侗P珠算法》（公元1573年）、柯尚_遷的《數(shù)學(xué)通軌》（公元 1578年）、朱載堉（1536—1611）的《算學(xué)新說》（公元1584年）、程大位的《直指算法統(tǒng)宗》（公元1592年）等，以程大位的著作流傳最廣。
值得指出的是，在元代中葉和元末的文學(xué)、戲劇作品中有提到珠算的。例如元世祖至元十六年（公元1279 年）劉因在他的《靜修先生文集》中有一首關(guān)于算盤的五言絕詩；陶宗儀在他的《輟耕錄》中把婢仆貶作算盤珠，要撥才動(dòng)；《元曲選》“龐居上誤放來生債”提到 “去那算盤里撥了我的歲數(shù)”，等等。文學(xué)、戲劇中用算盤珠作比喻，說明珠算盤已經(jīng)比較流行，也說明它是比較時(shí)新的東西。因此可以認(rèn)為，珠算出現(xiàn)在元代中葉，元末明初已經(jīng)普遍應(yīng)用了。
有的外國學(xué)者認(rèn)為我國的珠算出現(xiàn)在漢代，他們的根據(jù)是漢徐岳著、北周甄蠻注的《數(shù)術(shù)記遺》已經(jīng)明確提到珠算。我國數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)史家錢寶琮（1892—1974）曾經(jīng)考證過，《數(shù)術(shù)記遺》是甄鸞依托偽造而自己注釋的書。在北周時(shí)，乘、除運(yùn)算都在上、中、下三層進(jìn)行，又沒有簡(jiǎn)化乘、除法的歌訣，因此甄鸞注釋的珠算，充其量不過是一種記數(shù)工具或者只能作加減法的簡(jiǎn)單算盤，和后來出現(xiàn)的珠算是完全不同的。
珠算還傳到朝鮮、日本等國，對(duì)這些國家的計(jì)算技術(shù)的發(fā)展曾經(jīng)起過一定的作用。日本人在十七世紀(jì)中葉，在中國算盤的基礎(chǔ)上，改成梁上一珠、珠作棱形的日本算盤。
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