關(guān)于第二屆華杯賽決賽第一試的試題答案
決賽第一試試題與解答
圖55的30個(gè)格子中各有一個(gè)數(shù)字，最上面一橫行和最左面一豎列的數(shù)字已經(jīng)填好，其余每個(gè)格子中的數(shù)字等于同一橫行最左面數(shù)字與同一豎到最上面數(shù)字之和(例如a=14+17=31)。問這30個(gè)數(shù)字的總和等于多少?
[解法]從題目的填數(shù)規(guī)則，我們知道，與12同一行的六個(gè)格子中都有12這個(gè)數(shù)，因此總和數(shù)中有六個(gè)12相加。與14同一行的六個(gè)格子中都有14這個(gè)數(shù)，所以總和數(shù)中有六個(gè)14這個(gè)數(shù)。同樣，與16同一行，與18同一行的格子中，分別都有六個(gè)16，六個(gè)18，也就是說，從行看總和中有六個(gè)12，六個(gè)14，六個(gè)16，六個(gè)18.它們的和是6×(12+14+16+18)
再從列看，與11同一列的五個(gè)格子中都有11這個(gè)數(shù)。所以在總和數(shù)中有五個(gè)11這個(gè)救。同樣分析，總和數(shù)中有五個(gè)13，五個(gè)15，五個(gè)17，五個(gè)19，它們之和是：
5×(11+13+15+17+19)
方格子中還有一個(gè)數(shù)10，此外，沒有別的數(shù)了。所以總和數(shù)=6×(12+14+16+18)+5×(11+13+17+19)+10
=745
第二屆華杯賽決賽第一試試題答案：[分析與討論]這道題，有的同學(xué)按填數(shù)規(guī)則把每個(gè)格于上的數(shù)都填出來，然后用硬加的辦法求出總和數(shù)。這樣做法個(gè)可取，因?yàn)槿绻袛?shù)列數(shù)很大時(shí)，這樣做的計(jì)算最大，硬加就很困難。因此應(yīng)該采用巧算法。本題還有其它的巧算法，這里就不再敘述了。
另外需要提醒的是，不少問學(xué)思路是正確的，但忘了加10這個(gè)數(shù)。同學(xué)們不要輕視這種疏忽。
本題求一些數(shù)的和，在表現(xiàn)形式上是有新意的，平時(shí)同學(xué)們常做的求和問題，多數(shù)是求一串?dāng)?shù)的和，而本題是求一個(gè)表上所有數(shù)字之和。這種填著數(shù)的表格在工農(nóng)業(yè)和科學(xué)試驗(yàn)上是常用的。
平行四邊形ABCD周長為75厘米，以BC為底時(shí)高是14厘米(圖57);以CD為底時(shí)高是16厘米。求：平行四邊形ABCD的面積。
[解法]平行四邊形的面積=底×高
所以，平行四邊形ABCD的面積S=BC×14，
同樣S=CD×16，也就是CD=S。
所以BC+CD=S+S
=(+)×S
這就是×75=(+)×S
S=280(平方厘米)
答：平行四邊形ABCD的面積是280平方厘米。
[分析與討論]本題是求面積問題，解法很多。問學(xué)們可以試試其它解法再和上面的解法比較一下，看看哪種方法最簡便?
同一個(gè)問題，可以從不同角把它看成不同的數(shù)學(xué)問題，比如本題可以看成求面積問題，也可以看成“工程問題。這種能力的培養(yǎng)也是非常重要的。
一段路程分成上坡、平路、下坡三段。各段路程長之比依次是1∶2∶3三人走各段路所用時(shí)間之比次依是4∶5∶6。已知他上坡時(shí)速度為每小時(shí)3公里.路程全長50公里。問此人走完全程用了多少時(shí)間?
[解法]
上坡時(shí)間是(上坡路程)÷(上坡的速度)
=50×÷3=(小時(shí))
上坡時(shí)間占全程時(shí)間的所以，全程時(shí)間
=(小時(shí))
==(小時(shí))
答：此人走完全程共用了小時(shí)。
[分析與討論]這是一道比例題。比例問題在代數(shù)和幾何中都很重要。在小學(xué)算術(shù)課本中也有不少比例問題，主要是搞清楚部分與整體的關(guān)系。在進(jìn)一步學(xué)習(xí)過程中，同學(xué)們會(huì)不斷得到有關(guān)知識與技能。
小玲有兩種不同形狀的紙板。一種是正方形的，一種是長方形的(圖58)。正方形紙板的總數(shù)與長方形紙板的總數(shù)之比是1∶2。她用這些紙板做成一些豎式和橫式的無蓋紙盒(圖59)。正好將紙板用完，在小玲所做的紙盒中、豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之比是多少?
[解法1]設(shè)豎式盒總數(shù)：橫式盒總數(shù)=X∶1
長方形紙板數(shù)量=(4X+3)×(橫式盒的總數(shù));正方形紙板數(shù)量=(X+2)×(橫式盒的總數(shù))。所以4X+3=2×(X+2)
X=答：豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之比是1∶2。
[解法2]如果把無蓋紙盒都加上了蓋子。那么，無論盒是豎式的還是橫式的，在加蓋以后都用了兩塊正方形紙板四塊長方形紙板。因此，加蓋以后所用的`正方形紙板總數(shù)長方形紙板總數(shù)之比是2∶4=1∶2。而在加蓋以前所用正方形紙板總數(shù)與長方形紙板總數(shù)之比恰好也是1∶2。由此可見，所加的蓋子中正方形的比是1∶2，因?yàn)樨Q式的蓋子是正方形的，而橫式盒的蓋子是長方形的。所以在小玲所做的紙盒中，豎式紙盒的總數(shù)與橫式紙盒的總數(shù)之比是1∶2。
[分析與討論]注意，“解法2”是對于比數(shù)是1∶2這個(gè)特定條件下的一種特殊解法，它不具普遍性。比如，如果正方形紙板的總數(shù)與長方形紙板的總數(shù)之比是1∶3，那么答案就是3∶1。
請同學(xué)們算一算，如果正方形紙板的總數(shù)與長方形紙板的總數(shù)之比是N∶M，那么答案是什么?請自己分析討論一下。
在工業(yè)生產(chǎn)中，常常遇到這樣一類問題，原材料的來源是按一定的配比給定了，要用這些材料生產(chǎn)各種類型的產(chǎn)品。這時(shí)有最佳安排問題。安排不好就會(huì)造成材料的浪費(fèi)。學(xué)了小學(xué)的數(shù)學(xué)知識就可以解決一些這類問題中最簡單的問題。
在一根長木棍上，有三種刻度線、第一種刻度線將木棍分成十等份;第二種將木棍分成十二等份;第三仲將木棍分成十五等份。如果沿每條刻度先將木棍鋸斷，木棍總共被鋸成多少段?
[解法]求出(10，12，15)的最小公倍數(shù)，它是60。把這根木棍的10等分的每等分長6個(gè)單位。12等分的每等分長5單位;15等分的每等分長4單位。
不計(jì)木的兩個(gè)端點(diǎn)，木棍的內(nèi)部等分點(diǎn)數(shù)分別是9，11，14(相應(yīng)于10，12，15等分)，共計(jì)34個(gè)。
由于5，6的最小公倍數(shù)為30，所以10與12等分的內(nèi)分點(diǎn)在30單位處處相重，必須從34中減。
又由于4，5的最小公倍數(shù)為20，所以12與15等分的內(nèi)分點(diǎn)在20童位和40童位兩個(gè)相重，必須再減去2。
同樣，6，4的最小公倍數(shù)為12，所以15與10等分的內(nèi)分點(diǎn)在12，24，26;48童位處相重，必須再減去4。
由于這些相重點(diǎn)，各不相同，所以從34個(gè)內(nèi)分點(diǎn)中減去1，再減去2，再減去4，得27小刻度點(diǎn)，沿這些刻度點(diǎn)把木棍鋸成28段。
答：木棍總共被鋸成28段。
[分析與討論]本題還有許多解法。不少同學(xué)把木棍長看成1個(gè)單位，那么等分點(diǎn)將是一批分?jǐn)?shù)，分析起來不如這里父段。
[分析與討論]本題還有許多解法。不少同學(xué)把木棍長看成1個(gè)單位，那么等分點(diǎn)將是一批分?jǐn)?shù)，分析起來不如這里給出的解法清楚，因此計(jì)數(shù)多有錯(cuò)。也有一些同學(xué)列出全部等分點(diǎn)，計(jì)算繁瑣，也未必能做對，所以巧算是很重要的。
已知：
a=問：a的整數(shù)部分是多少?
[解法]
a=====現(xiàn)在我們來看a的第二項(xiàng)的分母，一方面
11×65+12×66+13×67+14×68+15×69<11×69+12×69+13×
69+14×69+15×69
另一方面
11×65+12×66+13×67+14×68+15×69>11×65+12×65+13×65+14×65+15×65
由于一個(gè)正的分?jǐn)?shù)，分母變小分?jǐn)?shù)變大，分母變大分?jǐn)?shù)變小。所以
<
即<同樣分析可得，
>也就是
<<100+<100+×
100<100+100+
答：a的整數(shù)部分是101。
[分析與討論]這是一道估值問題。估值問題不論在純數(shù)學(xué)上還是在應(yīng)用數(shù)學(xué)上都很重要。
估值問題在小學(xué)生中很少受到訓(xùn)練。但同學(xué)們在日常生活中，經(jīng)常會(huì)遇到一些這類問題，他們也有一些解決的辦法。當(dāng)然直接計(jì)算的方法是不可取的。在小學(xué)生中，適當(dāng)增加一點(diǎn)這方面的訓(xùn)練，是有好處的。
圖60算式中，所有分母都是四位數(shù)。請?jiān)诿總�(gè)方格中各填入一個(gè)數(shù)字，使等式成立。
圖60
[解法]本題中，三個(gè)分?jǐn)?shù)的分母都是四位數(shù)、不能立刻看出結(jié)果，因此有必要將問題先簡化一下。
我們知道，如果將三個(gè)分?jǐn)?shù)的分母同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，等式照樣成立。這就啟發(fā)我們一種化簡的方法，使分母盡量變得簡單。
自然的想法是將1988這個(gè)數(shù)做質(zhì)因數(shù)分解。通過試除知道1988的質(zhì)因數(shù)分解為：
1988=2×2×7×71。
這樣，根據(jù)上面的分析，可以先用1988的約數(shù)來代替1998，試著找一組解，然后再將分母都乘以適當(dāng)?shù)谋稊?shù)，檢查一個(gè)是否都是四位數(shù)就行了
例如：1988的質(zhì)因數(shù)分解中有的數(shù)4，很容易看出：
由于1988=2×2×7×71=4×497，所以，將上面等式的兩邊均乘上，就得
，即
這樣就給出了一組適合條件的解。
再如，
1988=2×2×7×71
=(2×7)×(2×71)
=14×142
而且有
，兩邊同乘以，就得
即這就給出了另一組解。
[分析和討論]我們在解題中只給出了二組不同的解，而且在找解時(shí)多少帶有一點(diǎn)試探的意味。這是因?yàn)橐抻谛W(xué)教村的內(nèi)容，而且也為了使同學(xué)們對如何簡化問題的技巧有一點(diǎn)體會(huì)。
這道題有多少組不同的解呢?是不是還有更一般的方法?下面就來討論。因?yàn)椋婕暗捷^深一點(diǎn)的知識，同學(xué)們?nèi)绻F(xiàn)在看不懂，可以留到以后再看。
為敘述方便，個(gè)妨將問題重寫出來設(shè)X，Y為兩個(gè)四位數(shù)，并適合
(1)
問：X，Y各為多少?
解：從(1)式可以看出，<，也就是說Y<1988。令u=1988-y根據(jù)題意，y是四位數(shù)，即y>1000，由此可知：
和U代換(1)式中的Y，我們有
(3)
因此
(4)
亦即
XU=(1988-U)1988=19882-988U(5)
從(5)式可以得到
19882=XU+1988U=(X+1988)U(6)
也就是說，
(7)
其中，S為4位數(shù)，U是適合條件(2)的整數(shù)。
由于(7)式左方是整數(shù)，因此U必須是19882的因子。
更進(jìn)一步，按題設(shè)X是四位數(shù)，亦即X≤9999。所以從(7)式可知
=X+1988≤11987 (8)
即
U≥>329.5 (9)
再結(jié)合(2)式，我們有
330
這樣，整個(gè)問題就化為求19882中適合條件(10)的因數(shù)有多少個(gè)?
容易看出：1988有質(zhì)因素分解
1988=22×7×71(11)
因此，19882=24×72×712。其中有哪些因數(shù)適合條件(10)呢?經(jīng)過檢查可知有如下4個(gè)因素：
71×7，71×23，72×23，72×24
用這4個(gè)數(shù)分別代入(7)式和Y=1988-U，就可以得到四組解如下：(1)X=5964，Y=1491;
(Ⅱ)X=4970，Y=1420;
(Ⅲ)X=8094，Y=1596;
(Ⅳ)X=3053，Y=1204。
最后，我們要給出解的一般公式，以供參考。
設(shè)X，Y，Z為三個(gè)自然數(shù)，適合
(12)
求X，Y，Z的一般形式
[解]由(12)式可知：
<，< (13)
因此，X>Z，Y>Z，由此不妨設(shè)
X=Z+U，Y=Z+V(14)
其中U>0，V>0.
將(14)式代入到(12)式中，我們有
= (15)
即(2Z+U+V)Z=(Z+U)(Z+V)=Z2+ZU+ZV+UV(16)
化簡后可得：
Z2=UV(17)
設(shè)U和V有最大公約數(shù)為T，則
U=U1·T，V=V1.T(18)
其中U1和V1互質(zhì)。
將(16)式代入到(17)式中，可以得到
Z=Z1T(19)
而Z1，U1，V1適合方程
(20)
因?yàn)閁1和V1互質(zhì)，即只有公因數(shù)1，從(20)可知U1和V1均為平方數(shù)，也就說，一般解為
，， (21)
將(21)式代入到(14)式中，我們有一般解：
X=R(R+S)T
Y=S(R+S)T(22)
Z=R·S·T
其中R，S，T均為自然數(shù)。
有興趣的同學(xué)不妨用一般公式試試求本題的解。
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