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六年級奧數(shù)知識點(diǎn)之和差與倍數(shù)的應(yīng)用題
上學(xué)期間，不管我們學(xué)什么，都需要掌握一些知識點(diǎn)，知識點(diǎn)有時(shí)候特指教科書上或考試的知識。哪些知識點(diǎn)能夠真正幫助到我們呢？下面是小編為大家整理的六年級奧數(shù)知識點(diǎn)之和差與倍數(shù)的應(yīng)用題，供大家參考借鑒，希望可以幫助到有需要的朋友。
六年級奧數(shù)知識點(diǎn)之和差與倍數(shù)的應(yīng)用題 1
一、和差問題
說到“和差問題”，小學(xué)高年級的同學(xué)，人人都會說：“我會！”和差問題的計(jì)算太簡單了。是的，知道兩個(gè)數(shù)的和與差，求兩數(shù)，有計(jì)算公式：
大數(shù)=（和+差）÷2
小數(shù)=（和—差）÷2
會算，還要會靈活運(yùn)用，要把某些應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成和差問題來算。
先看幾個(gè)簡單的例子。
例1張明在期末考試時(shí)，語文、數(shù)學(xué)兩門功課的平均得分是95分，數(shù)學(xué)比語文多得8分，張明這兩門功課的成績各是多少分？
解：95乘以2，就是數(shù)學(xué)與語文兩門得分之和，又知道數(shù)學(xué)與語文得分之差是8。因此
數(shù)學(xué)得分=（95×2+8）÷2=99。
語文得分=（95×2—8）÷2=91。
答：張明數(shù)學(xué)得99分，語文得91分。
注：也可以從95×2—99=91求出語文得分。
例2有A，B，C三個(gè)數(shù)，A加B等于252，B加C等于197，C加A等于149，求這三個(gè)數(shù)。
解：從B+C=197與A+C=149，就知道B與A的差是197—149，題目又告訴我們，B與A之和是252。因此
B=（252+197—149）÷2=150，A=252—150=102，C=149—102=47。
答：A，B，C三數(shù)分別是102，150，47。
注：還有一種更簡單的方法
�。ˋ+B）+（B+C）+（C+A）=2×（A+B+C）。
上面式子說明，三數(shù)相加再除以2，就是三數(shù)之和。
A+B+C=（252+197+149）÷2=299。因此
C=299—252=47，B=299—149=150，A=299—197=102。
例3甲、乙兩筐共裝蘋果75千克，從甲筐取出5千克蘋果放入乙筐里，甲筐蘋果還比乙筐多7千克。甲、乙兩筐原各有蘋果多少千克？
解：畫一張簡單的示意圖，就可以看出，原來甲筐蘋果比乙筐多
5+7+5=17（千克）
因此，甲、乙兩數(shù)之和是75，差為17。
甲筐蘋果數(shù)=（75+17）÷2=46（千克）。
乙筐蘋果數(shù)=75—46=29（千克）。
答：原來甲筐有蘋果46千克，乙筐有蘋果29千克。
例4張強(qiáng)用270元買了一件外衣，一頂帽子和一雙鞋子。外衣比鞋貴140元，買外衣和鞋比帽子多花210元，張強(qiáng)買這雙鞋花多少錢？
解：我們先把外衣和鞋看成一件東西，它與帽子的價(jià)格和是270元，差是210元。
外衣和鞋價(jià)之和=（270+210）÷2=240（元）。
外衣價(jià)與鞋價(jià)之差是140，因此
鞋價(jià)=（240—140）÷2=50（元）。
答：買這雙鞋花50元。
再舉出三個(gè)較復(fù)雜的例子。如果你也能像下面的解答那樣計(jì)算，那么就可以說，“和差問題”的解法，你已能靈活運(yùn)用了。
例5李叔叔要在下午3點(diǎn)鐘上班，他估計(jì)快到上班時(shí)間了，到屋里看鐘，可是鐘早在12點(diǎn)10分就停了。他開足發(fā)條卻忘了撥指針，匆匆離家，到工廠一看鐘，離上班時(shí)間還有10分鐘。夜里11點(diǎn)下班，李叔叔馬上離廠回到家里，一看鐘才9點(diǎn)整。假定李叔叔上班和下班在路上用的時(shí)間相同，那么他家的鐘停了多少時(shí)間（上發(fā)條所用時(shí)間忽略不計(jì)）？
解：到廠時(shí)看鐘是2點(diǎn)50分，離家看鐘是12點(diǎn)10分，相差2小時(shí)40分，這是停鐘的時(shí)間和路上走的時(shí)間加在一起產(chǎn)生的。就有
鐘停的時(shí)間+路上用的時(shí)間=160（分鐘）。
晚上下班時(shí)，廠里鐘是11點(diǎn)，到家看鐘是9點(diǎn)，相差2小時(shí)。這是由于鐘停的時(shí)間中，有一部分時(shí)間，被回家路上所用時(shí)間抵消了。
因此
鐘停的時(shí)間—路上用的時(shí)間=120（分鐘）。
現(xiàn)在已把問題轉(zhuǎn)化成標(biāo)準(zhǔn)的和差問題了。
鐘停的時(shí)間=（160+120）÷2=140（分鐘）。
路上用的時(shí)間=160—140=20（分鐘）。
答：李叔叔的鐘停了2小時(shí)20分。
還有一種解法，可以很快算出李叔叔路上所用時(shí)間：
以李叔叔家的鐘計(jì)算，他在12點(diǎn)10分出門，晚上9點(diǎn)到家，在外共8小時(shí)50分鐘，其中8小時(shí)上班，10分鐘等待上班，剩下的時(shí)間就是他上班來回共用的時(shí)間，所以
上班路上所用時(shí)間=（8小時(shí)50分鐘—8小時(shí)—10分鐘）÷2=20（分鐘）。
鐘停時(shí)間=2小時(shí)40分鐘—20分鐘
=2小時(shí)20分鐘。
例6小明用21.4元去買兩種賀卡，甲卡每張1.5元，乙卡每張0.7元，錢恰好用完�？墒鞘圬泦T把甲卡張數(shù)算作乙卡張數(shù)，把乙卡張數(shù)算作甲卡張數(shù)，要找還小明3.2元。問小明買甲、乙卡各幾張？
解：甲卡與乙卡每張相差1.5—0.7=0.8（元），售貨員錯(cuò)找還小明3.2元，就知小明買的甲卡比乙卡多3.2÷0.8=4（張）。
現(xiàn)在已有兩種卡張數(shù)之差，只要求出兩種卡張數(shù)之和問題就解決了。如何求呢？請注意
1.5×甲卡張數(shù)+0.7×乙卡張數(shù)=21.4。
1.5×乙卡張數(shù)+0.7×甲卡張數(shù)=21.4—3.2。
從上面兩個(gè)算式可以看出，兩種卡張數(shù)之和是
[21.4+（21.4—3.2）]÷（1.5+0.7）=18（張）。
因此，甲卡張數(shù)是
�。�18+4）÷2=11（張）。
乙卡張數(shù)是18—11=7（張）。
答：小明買甲卡11張、乙卡7張。
注：此題還可用雞兔同籠方法做，請見下一講。
例7有一些蘋果和梨。如果按每1個(gè)蘋果2個(gè)梨分堆，梨分完時(shí)還剩5個(gè)蘋果，如果按每3個(gè)蘋果5個(gè)梨分堆，蘋果分完了還剩5個(gè)梨。問蘋果和梨各多少？
解一：我們設(shè)想再有10個(gè)梨，與剩下5個(gè)蘋果一起，按“1個(gè)蘋果、2個(gè)梨”前一種分堆，都分完。以后一種“3個(gè)蘋果、5個(gè)梨”分堆來看，蘋果總數(shù)能被3整除。因此可以把前一種分堆，每3堆并成一大堆，每堆有3個(gè)蘋果，2×3=6（個(gè)）梨。與后一種分堆比較：
每堆蘋果都是3個(gè)。而梨多1個(gè)（6—5=1）。梨的總數(shù)相差
設(shè)想增加10個(gè)+剩下5個(gè)=15個(gè)。
�。�10+5）÷（6—5）=15。
就知有15個(gè)大堆，蘋果總數(shù)是
15×3=45（個(gè)）。
梨的總數(shù)是（45—5）×2=80（個(gè)）。
答：有蘋果45個(gè)、梨80個(gè)。
解二：用圖解法。
前一種分堆，在圖上用梨2份，蘋果1份多5個(gè)來表示。
后一種分堆，只要添上3個(gè)蘋果，就可與剩的5個(gè)梨又組成一堆。梨算作5份，蘋果恰好是3份。
將上、下兩圖對照比較，就可看出，5+3=8（個(gè)）是下圖中“半份”，即1份是16。梨是5份，共有16×5=80（個(gè)）。蘋果有16×2.5+5=45（個(gè)）。
二、倍數(shù)問題
當(dāng)知道了兩個(gè)數(shù)的和或者差，又知道這兩個(gè)數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，就能立即求出這兩個(gè)數(shù)。小學(xué)算術(shù)中常見的“年齡問題”是這類問題的典型。先看幾個(gè)基礎(chǔ)性的例子。
例8有兩堆棋子，第一堆有87個(gè)，第二堆有69個(gè)。那么從第一堆拿多少個(gè)棋子到第二堆，就能使第二堆棋子數(shù)是第一堆的3倍。
解：兩堆棋子共有87+69=156（個(gè)）。
為了使第二堆棋子數(shù)是第一堆的3倍，就要把156個(gè)棋子分成1+3=4（份），即每份有棋子
156÷（1+3）=39（個(gè)）。
第一堆應(yīng)留下棋子39個(gè)，其余棋子都應(yīng)拿到第二堆去。因此從第一堆拿到第二堆的棋子數(shù)是
87—39=48（個(gè)）。
答：應(yīng)從第一堆拿48個(gè)棋子到第二堆去。
例9有兩層書架，共有書173本。從第一層拿走38本書后，第二層的書比第一層的`2倍還多6本。問第二層有多少本書？
解：我們畫出下列示意圖：
我們把第一層（拿走38本后）余下的書算作1“份”，那么第二層的書是2份還多6本。再去掉這6本，即
173—38—6=129（本）
恰好是3份，每一份是
129÷3=43（本）。
因此，第二層的書共有
43×2+6=92（本）。
答：書架的第二層有92本書。
說明：我們先設(shè)立“1份”，使計(jì)算有了很方便的計(jì)算單位。這是解應(yīng)用題常用的方法，特別對倍數(shù)問題極為有效。把份數(shù)表示在示意圖上，更是一目了然。
例10某小學(xué)有學(xué)生975人。全校男生人數(shù)是六年級學(xué)生人數(shù)的4倍少23人，全校女生人數(shù)是六年級學(xué)生人數(shù)的3倍多11人。問全校有男、女生各多少人？
解：設(shè)六年級學(xué)生人數(shù)是“1份”。
男生是4份—23人。
女生是3份+11人。
全校是7份—（23—11）人。
每份是（975+12）÷7=141（人）。
男生人數(shù)=141×4—23=541（人）。
女生人數(shù)=975—541=434（人）。
答：有男生541人、女生434人。
例9與例10是一個(gè)類型的問題，但稍有差別。請讀者想一想，“差別”在哪里？
70雙皮鞋。此時(shí)皮鞋數(shù)恰好是旅游鞋數(shù)的2倍。問原來兩種鞋各有幾雙？
解：為了計(jì)算方便，把原來旅游鞋算作4份，售出1份，還有3份。那么原有皮鞋增加70雙后將是3×2=6（份）.400+70將是3+1+6=10（份）。每份是
�。�400+70）÷10=47（雙）。
原有旅游鞋47×4=188（雙）。
原有皮鞋47×6—70=212（雙）。
答：原有旅游鞋188雙，皮鞋212雙。
設(shè)整數(shù)的份數(shù)，使計(jì)算簡單方便。小學(xué)算術(shù)中小數(shù)、分?jǐn)?shù)盡可能整數(shù)化，使思考、計(jì)算都較簡捷。因此，“盡可能整數(shù)化”將會貫穿在以后的章節(jié)中。
下面例子將是本節(jié)的主要內(nèi)容──年齡問題。
年齡問題是小學(xué)算術(shù)中常見的一類問題，這類題目中常常有“倍數(shù)”這一條件。解年齡問題最關(guān)鍵的一點(diǎn)是：兩個(gè)人的年齡差總保持不變。
例12父親現(xiàn)年50歲，女兒現(xiàn)年14歲。問幾年前，父親的年齡是女兒年齡的5倍？
解：父女相差36歲，這個(gè)差是不變的。幾年前還是相差36歲。當(dāng)父親的年齡恰好是女兒年齡的5倍時(shí)，父親仍比女兒大36歲。這36歲是女兒年齡的（5—1）倍。
36÷（5—1）=9。
當(dāng)時(shí)女兒是9歲，14—9=5，也就是5年前。
答：5年前，父親年齡是女兒年齡的5倍。
例13有大、小兩個(gè)水池，大水池里已有水300立方米。小水池里已有水70立方米�，F(xiàn)在往兩個(gè)水池里注入同樣多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍。問每個(gè)水池注入了多少立方米的水。
解：畫出下面示意圖：
我們把小水池注入水后的水量算作1份，大水池注入水后的水量就是3份。從圖上可以看出，因?yàn)樽⑷雰蓚�(gè)水池的水量相等，所以大水池比小水池多的水量（300—70）是2份。
因此每份是
（300—70）÷2=115（立方米）。
要注入的水量是
115—70=45（立方米）？
答：每個(gè)水池要注入45立方米的水。
例13與年齡問題是完全一樣的問題�！白⑷胨毕喈�(dāng)于年齡問題中的“幾年后”。
例14今年哥倆的歲數(shù)加起來是55歲。曾經(jīng)有一年，哥哥的歲數(shù)與今年弟弟的歲數(shù)相同，那時(shí)哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的兩倍。哥哥今年幾歲？
解：當(dāng)哥哥的歲數(shù)恰好是弟弟歲數(shù)的2倍時(shí)，我們設(shè)那時(shí)弟弟的歲數(shù)是1份，哥哥的歲數(shù)是2份，那么哥哥與弟弟的歲數(shù)之差是1份。兩人的歲數(shù)之差是不會變的，今年他們的年齡仍相差1份。
題目又告訴我們，那時(shí)哥哥歲數(shù)，與今年弟弟的歲數(shù)相同，因此今年弟弟的歲數(shù)也是2份，而哥哥今年的歲數(shù)應(yīng)是2+1=3（份）。
今年，哥弟倆年齡之和是
3+2=5（份）。
每份是55÷5=11（歲）。
哥哥今年的歲數(shù)是11×3=33（歲）。
答：哥哥今年33歲。
作為本節(jié)最后一個(gè)例子，我們將年齡問題進(jìn)行一點(diǎn)變化。
例15父年38歲，母年36歲，兒子年齡為11歲。
問多少年后，父母年齡之和是兒子年齡的4倍？
解：現(xiàn)在父母年齡之和是
38+36=74。
現(xiàn)在兒子年齡的4倍是11×4=44。相差
74—44=30。
從4倍來考慮，以后每年長1×4=4，而父母年齡之和每年長1+1=2。
為追上相差的30，要
30÷（4—2）=15（年）？
答：15年后，父母年齡之和是兒子年齡的4倍。
請讀者用例15的解題思路，解習(xí)題二的第7題。也許就能完全掌握這一解題技巧了。
請讀者想一想，例15的解法，與例12的解法，是否不一樣？各有什么特點(diǎn)？
我們也可以用例15解法來解例12。具體做法有下面算式：
（14×5—50）÷（5—1）=5（年）。
不過要注意14×5比50多，因此是5年前。
三、盈不足問題
在我國古代的算書中，《九章算術(shù)》是內(nèi)容最豐富多彩的一本。在它的第七章，講了一類盈不足問題，其中第一題，用現(xiàn)代的語言來敘述，就是下面的例題。
例16有一些人共同買一些東西，每人出8元，就多了3元；每人出7元，就少了4元。那么有多少人？物價(jià)是多少？
解：“多3元”與“少4元”兩者相差
3+4=7（元）。
每個(gè)人要多出8—7=1（元）。
因此就知道，共有7÷1=7（人），物價(jià)是
8×7—3=53（元）。
答：共有7個(gè)人一起買，物價(jià)是53元。
上面的3+4可以說是兩個(gè)總數(shù)的相差數(shù)。而8—7是每份的相差數(shù)。計(jì)算公式是
總數(shù)相差數(shù)÷每份相差數(shù)=份數(shù)
這樣的問題在內(nèi)容上有很多變化，形成了一類問題，我們通稱為“盈不足”問題。請?jiān)倏匆恍├印?/p>
例17把一袋糖分給小朋友們，每人分10粒，正好分完；如果每人分16粒，就有3個(gè)小朋友分不到糖。這袋糖有多少粒？
解一：3位小朋友本來每人可以分到10粒，他們共有的10×3=30（粒），分給其余小朋友，每人就可以增加16—10=6（粒），因此其余小朋友有
10×3÷（16—10）=5（人）。
再加上這3位小朋友，共有小朋友5+3=8（人）。這袋糖有
10×（5+3）=80（粒）。
解二：如果我們再增加16×3粒糖，每人都可以增加（1—10）粒，因此共有小朋友
16×3÷（16—10）=8（人）？
這袋糖有80粒。
答：這袋糖有80粒。
這里，16×3是總差，（16—10）是每份差，8是份數(shù)。
例18有一個(gè)班的同學(xué)去劃船，他們算了一下，如果增加一條船，每條船正好坐6人；如果減少一條船，每條船正好坐9人。這個(gè)班共有多少名同學(xué)？
解：如果每條船坐6人，就要增加一條船，也就是現(xiàn)在有6個(gè)人無船坐；如果每條船坐9人，可以減少一條船，也就是還可以多來9個(gè)人坐船。可以坐船的人數(shù)，兩者相差6+9=15（人）。
這是由于每條船多坐（9—6）人產(chǎn)生的，因此共有船
（6+9）÷（9—6）=5（條）？
這個(gè)班的同學(xué)有6×5+6=36（人）。
答：這個(gè)班有36人。
例19小明從家去學(xué)校，如果每分鐘走80米，能在上課前6分鐘到校，如果每分鐘走50米，就要遲到3分鐘，那么小明的家到學(xué)校的路程有多遠(yuǎn)？
解一：以小明從家出發(fā)到上課這一段時(shí)間來算，兩種不同速度所走的距離，與小明家到學(xué)校的距離進(jìn)行比較：如果每分鐘走80米，就可以多走80×6（米）；如果每分鐘走50米，就要少走50×3（米）。請看如下示意圖：
因此我們可以求出，小明從家出發(fā)到上課這段時(shí)間是
�。�80×6+50×3）÷（80—50）=21（分鐘）。
家至學(xué)校距離是
800×（21—6）=1200（米）？
或50×（21+3）=1200（米）。
答：小明家到學(xué)校的路程是1200米。
解二：以每分鐘80米走完家到學(xué)校這段路程所需時(shí)間，作為思考的出發(fā)點(diǎn)。
用每分鐘50米速度，就要多用6+3=9（分種）。這9分鐘所走的50×9（米），恰好補(bǔ)上前面少走的。因此每分鐘80米所需時(shí)間是
50×（6+3）÷（80—50）=15（分鐘）？
再看兩個(gè)稍復(fù)雜的例子。
例20一些桔子分給若干個(gè)人，每人5個(gè)還多余10個(gè)桔子。如果人數(shù)增加到3倍還少5個(gè)人，那么每人分2個(gè)桔子還缺少8個(gè)，問有桔子多少個(gè)？
解：使人感到困難的是條件“3倍還少5人”。先要轉(zhuǎn)化這一條件。
假設(shè)還有10個(gè)桔子，10=2×5，就可以多有5個(gè)人，把“少5人”這一條件暫時(shí)擱置一邊，只考慮3倍人數(shù)，也相當(dāng)于按原人數(shù)每人給2×3=6（個(gè)）。
每人給5個(gè)與給6個(gè)，總數(shù)相差
10+10+8=28（個(gè)）。
所以原有人數(shù)28÷（6—5）=28（人）。
桔子總數(shù)是5×28+10=150（個(gè)）。
答：有桔子150個(gè)。
六年級奧數(shù)知識點(diǎn)之和差與倍數(shù)的應(yīng)用題 2
1、比賽用的足球是由黑、白兩色皮子縫制的，其中黑色皮子為正五邊形，白色皮子為正六邊形，并且黑色正五邊形與白色正六邊形的邊長相等。縫制的方法是：每塊黑色皮子的5條邊分別與5塊白色皮子的邊縫在一起;每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起。如果一個(gè)足球表面上共有12塊黑色正五邊形皮子，那么，這個(gè)足球應(yīng)有白色正六邊形皮子多少塊？
2、5個(gè)空瓶可以換1瓶汽水，某班同學(xué)喝了161瓶汽水，其中有一些是用喝剩下來的空瓶換的，那么他們至少要買汽水多少瓶？
3、現(xiàn)有三堆蘋果，其中第一堆蘋果個(gè)數(shù)比第二堆多，第二堆蘋果個(gè)數(shù)比第三堆多。如果從每堆蘋果中各取出一個(gè)，那么在剩下的.蘋果中，第一堆個(gè)數(shù)是第二堆的三倍。如果從每堆蘋果中各取出同樣多個(gè)，使得第一堆還剩34個(gè)，則第二堆所剩下的蘋果數(shù)是第三堆的2倍。問原來三堆蘋果數(shù)之和的最大值是多少？
答案解析
1、先算黑皮子共有多少條邊：12×5=60條。這60條邊都是與白皮子縫合在一起的，對于白皮子來說：每塊白色皮子的6條邊中，有3條邊與黑色皮子的邊縫在一起，另3條邊則與其它白色皮子的邊縫在一起，所以白皮子所有邊的一半是與黑皮子縫合在一起的，那么白皮子就應(yīng)該一共有60×2=120條邊，120÷6=20，所以共有20塊白皮子。
2、大致上可以這樣想：先買161瓶汽水，喝完以后用這161個(gè)空瓶還可以換回32瓶（161÷5=32…1）汽水，然后再把這32瓶汽水退掉，這樣一算，就發(fā)現(xiàn)實(shí)際上只需要買161—32=129瓶汽水�？梢詸z驗(yàn)一下：先買129瓶，喝完后用其中125個(gè)空瓶（還剩4個(gè)空瓶）去換25瓶汽水，喝完后用25個(gè)空瓶可以換5瓶汽水，再喝完后用5個(gè)空瓶去換1瓶汽水，最后用這個(gè)空瓶和最開始剩下的4個(gè)空瓶去再換一瓶汽水，這樣總共喝了：129+25+5+1+1=161瓶汽水。
3、從第一個(gè)條件開始：從每堆蘋果中各取出一個(gè)，在剩下的蘋果中，第一堆個(gè)數(shù)是第二堆的三倍，這時(shí)假設(shè)第二堆是1份蘋果，那么第一堆就是3份蘋果，差2份蘋果。再看第二個(gè)條件：從每堆蘋果中各取出同樣多個(gè)，使得第一堆還剩34個(gè)，第二堆所剩下的蘋果數(shù)是第三堆的2倍，因?yàn)槭菑拿慷烟O果中各取出同樣多個(gè)，所以第二堆還是比第一堆少2份蘋果，所以這個(gè)2份應(yīng)該比34個(gè)要少（大家自己考慮一下為什么不能相等？）所以一份最多就16個(gè)，于是在第二個(gè)條件時(shí)，第二堆還有34—16×2=2個(gè)，第三堆還有2÷2=1個(gè)，所以回到第一個(gè)條件時(shí)，第二堆應(yīng)該是1份16個(gè)蘋果，第三堆少一個(gè)是15個(gè)，第一堆是3份共16×3=48個(gè)蘋果，所以在最開始分別有49，17，16個(gè)，總共有49+17+16=82個(gè)。
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