矩形菱形與正方形練習題

　　1. （ 安徽省,第10題4分）如圖，正方形ABCD的對角線BD長為2 ，若直線l滿足：

　　①點D到直線l的距離為 ；

　　②A、C兩點到直線l的距離相等．

　　則符合題意的直線l的條數為（  ）

　　A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

　　考點： 正方形的性質．

　　分析： 連接AC與BD相交于O，根據正方形的性質求出OD= ，然后根據點到直線的距離和平行線間的距離相等解答．

　　解答： 解：如圖，連接AC與BD相交于O，

　　∵正方形ABCD的對角線BD長為2 ，

　　∴OD= ，

　　∴直線l‖AC并且到D的距離為 ，

　　同理，在點D的另一側還有一條直線滿足條件，

　　故共有2條直線l．

　　故選B．

　　點評： 本題考查了正方形的性質，主要利用了正方形的對角線互相垂直平分，點D到O的距離小于 是本題的關鍵．

　　2. （ 福建泉州，第5題3分）正方形的對稱軸的條數為（  ）

　　A． 1 B． 2 C． 3 D． 4

　　考點： 軸對稱的性質

　　分析： 根據正方形的對稱性解答．

　　解答： 解：正方形有4條對稱軸．

　　故選D．

　　點評： 本題考查了軸對稱的性質，熟記正方形的對稱性是解題的關鍵．

　　3. （珠海，第2題3分）邊長為3cm的菱形的周長是（  ）

　　A． 6cm B． 9cm C． 12cm D． 15cm

　　考點： 菱形的性質．

　　分析： 利用菱形的各邊長相等，進而求出周長即可．

　　解答： 解：∵菱形的各邊長相等，

　　∴邊長為3cm的菱形的周長是：3×4=12（cm）．

　　故選：C．

　　點評： 此題主要考查了菱形的性質，利用菱形各邊長相等得出是解題關鍵．

　　4.（廣西玉林市、防城港市，第6題3分）下列命題是假命題的是（  ）

　　A． 四個角相等的四邊形是矩形 B． 對角線相等的平行四邊形是矩形

　　C． 對角線垂直的四邊形是菱形 D． 對角線垂直的平行四邊形是菱形

　　考點： 命題與定理．

　　分析： 根據矩形的判定對A、B進行判斷；根據菱形的判定方法對C、D進行判斷．

　　解答： 解：A、四個角相等的四邊形是矩形，所以A選項為真命題；

　　B、對角線相等的平行四邊形是矩形，所以B選項為真命題；

　　C、對角線垂直的平行四邊形是菱形，所以C選項為假命題；

　　D、對角線垂直的平行四邊形是菱形，所以D選項為真命題．

　　故選C．

　　點評： 本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題；正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題；經過推理論證的真命題稱為定理．

　　5.（畢節地區，第8題3分）如圖，菱形ABCD中，對角線AC、BC相交于點O，H為AD邊中點，菱形ABCD的周長為28，則OH的長等于（  ）

　　A． 3.5 B． 4 C． 7 D． 14

　　考點： 菱形的性質；直角三角形斜邊上的中線；三角形中位線定理

　　分析： 根據菱形的四條邊都相等求出AB，菱形的對角線互相平分可得OB=OD，然后判斷出OH是△ABD的中位線，再根據三角形的'中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半可得OH= AB．

　　解答： 解：∵菱形ABCD的周長為28，

　　∴AB=28÷4=7，OB=OD，

　　∵H為AD邊中點，

　　∴OH是△ABD的中位線，

　　∴OH= AB= ×7=3.5．

　　故選A．

　　點評： 本題考查了菱形的對角線互相平分的性質，三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半，熟記性質與定理是解題的關鍵．

　　6.（襄陽，第12題3分）如圖，在矩形ABCD中，點E，F分別在邊AB，BC上，且AE= AB，將矩形沿直線EF折疊，點B恰好落在AD邊上的點P處，連接BP交EF于點Q，對于下列結論：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等邊三角形．其中正確的是（  ）

　　A． ①② B． ②③ C． ①③ D． ①④

　　考點： 翻折變換（折疊問題）；矩形的性質

　　分析： 求出BE=2AE，根據翻折的性質可得PE=BE，再根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根據翻折的性質求出∠BEF=60°，根據直角三角形兩銳角互余求出∠EFB=30°，然后根據直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半可得EF=2BE，判斷出①正確；利用30°角的正切值求出PF= PE，判斷出②錯誤；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判斷出③錯誤；求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等邊三角形，判斷出④正確．

　　解答： 解：∵AE= AB，

　　∴BE=2AE，

　　由翻折的性質得，PE=BE，

　　∴∠APE=30°，

　　∴∠AEP=90°－30°=60°，

　　∴∠BEF= （180°－∠AEP）= （180°－60°）=60°，

　　∴∠EFB=90°－60°=30°，

　　∴EF=2BE，故①正確；

　　∵BE=PE，

　　∴EF=2PE，

　　∵EF＞PF，

　　∴PF＞2PE，故②錯誤；

　　由翻折可知EF⊥PB，

　　∴∠EBQ=∠EFB=30°，

　　∴BE=2EQ，EF=2BE，

　　∴FQ=3EQ，故③錯誤；

　　由翻折的性質，∠EFB=∠BFP=30°，

　　∴∠BFP=30°+30°=60°，

　　∵∠PBF=90°－∠EBQ=90°－30°=60°，

　　∴∠PBF=∠PFB=60°，

　　∴△PBF是等邊三角形，故④正確；

　　綜上所述，結論正確的是①④．

　　故選D．

　　點評： 本題考查了翻折變換的性質，直角三角形30°角所對的直角邊等于斜邊的一半的性質，直角三角形兩銳角互余的性質，等邊三角形的判定，熟記各性質并準確識圖是解題的關鍵．

　　7.（孝感，第9題3分）如圖，正方形OABC的兩邊OA、OC分別在x軸、y軸上，點D（5，3）在邊AB上，以C為中心，把△CDB旋轉90°，則旋轉后點D的對應點D′的坐標是（  ）

　　A． （2，10） B． （－2，0） C． （2，10）或（－2，0） D． （10，2）或（－2，0）

　　考點： 坐標與圖形變化-旋轉．

　　分析： 分順時針旋轉和逆時針旋轉兩種情況討論解答即可．

　　解答： 解：∵點D（5，3）在邊AB上，

　　∴BC=5，BD=5－3=2，

　　①若順時針旋轉，則點D′在x軸上，OD′=2，

　　所以，D′（－2，0），

　　②若逆時針旋轉，則點D′到x軸的距離為10，到y軸的距離為2，

　　所以，D′（2，10），

　　綜上所述，點D′的坐標為（2，10）或（－2，0）．

　　故選C．

　　點評： 本題考查了坐標與圖形變化－旋轉，正方形的性質，難點在于分情況討論．

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