函數(shù)插值教學(xué)設(shè)計論文范本
一、函數(shù)插值實(shí)驗(yàn)教學(xué)設(shè)計
函數(shù)插值理論在數(shù)值分析中是非常重要的一個知識點(diǎn)，也是離散函數(shù)逼近的重要方法。其原理是利用插值法，可在離散數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上得到一條連續(xù)函數(shù)通過全部已知數(shù)據(jù)點(diǎn)，進(jìn)而可以估算出其他節(jié)點(diǎn)處的近似值。插值方法主要有拉格朗日插值、牛頓插值、分段線性插值、樣條插值等，其理論煩瑣，但是又非常重要，它是數(shù)值積分理論的重要理論基礎(chǔ)。插值方法很多，如何在理論和實(shí)驗(yàn)教學(xué)中讓學(xué)生掌握各個方法的原理，以及每個插值方法使用的注意事項(xiàng)，是擺在教師面前的難題。課堂注重理論，實(shí)驗(yàn)注重做法，在實(shí)驗(yàn)教學(xué)中，筆者認(rèn)為應(yīng)該在加強(qiáng)課堂理論學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上，實(shí)驗(yàn)要注重如何讓學(xué)生鞏固課堂學(xué)習(xí)的成果，把插值的原理和特點(diǎn)通過設(shè)計的算例讓學(xué)生自己描繪出來。學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)全面認(rèn)識各個插值理論的優(yōu)缺點(diǎn)，為以后數(shù)值積分的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。為此，在插值實(shí)驗(yàn)這一節(jié)，我們?yōu)閷W(xué)生設(shè)計了一個比較實(shí)驗(yàn)，通過每一對有特點(diǎn)的算例的比較，讓學(xué)生在比較中獲得各個插值方法的使用注意事項(xiàng)和具體的操作方法，知道什么可以做什么不能做，并且獲得對插值的全新認(rèn)識。實(shí)驗(yàn)的首要任務(wù)是編程，利用MATLAB數(shù)學(xué)軟件結(jié)合課堂學(xué)到的理論公式編寫拉格朗日插值和牛頓插值的程序。盡管MATLAB有內(nèi)置的命令實(shí)現(xiàn)拉格朗日插值，但是學(xué)生無法通過內(nèi)置命令掌握拉格朗日插值理論公式，并且由于通過MATLAB編程實(shí)現(xiàn)拉格朗日插值和牛頓插值比較容易，所以還是要求學(xué)生通過理論公式獨(dú)立編程，以加深對理論公式的記憶和理解。在編程的基礎(chǔ)上，要求學(xué)生利用編寫的程序完成以下對比實(shí)驗(yàn)。
1.從函數(shù)y=sin（x），x∈（-2π，2π）中等距離取5個點(diǎn)，要求學(xué)生分別利用拉格朗日插值和牛頓插值進(jìn)行求插值函數(shù)的操作
觀察利用兩個插值原理求出來的插值函數(shù)有何異同。2.從多項(xiàng)式y(tǒng)=x4+x3+x2+x+1中等距離取5個點(diǎn)，要求學(xué)生利用拉格朗日插值方法進(jìn)行插值操作，觀察獲得的插值函數(shù)和原函數(shù)有何異同。3.提示學(xué)生對函數(shù)y=sin（x），x∈（-2π，2π）的5點(diǎn)拉格朗日插值效果不好，若要提高插值效果，將節(jié)點(diǎn)個數(shù)增加到11個，將插值效果進(jìn)行比較。4.在上例的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生通過畫圖比較函數(shù)f（x）=11+25x2，x∈（-1，1）的5點(diǎn)拉格朗日插值和11點(diǎn)拉格朗日插值效果。提示學(xué)生可以進(jìn)一步增加節(jié)點(diǎn)個數(shù)，觀察得出的圖形。5.利用分段插值的方法，對函數(shù)（fx）=11+25x2，x∈（-1，1）進(jìn)行11點(diǎn)插值，與11點(diǎn)拉格朗日插值的插值效果比較。6.保留拉格朗日插值方法，取消等距節(jié)點(diǎn)，提示學(xué)生利用[-1，1]上的切比雪夫多項(xiàng)式的零點(diǎn)（切比雪夫點(diǎn)）xk=cos（2k-1）π2（n+1）--，k=1，2，…，n+1對以上兩個函數(shù)進(jìn)行拉格朗日插值，與等距節(jié)點(diǎn)的插值效果進(jìn)行比較。我們希望學(xué)生做完以上案例后不但能順利完成結(jié)果的獲得，而且還能利用課堂學(xué)到的理論知識分析得到的結(jié)果，這些結(jié)果都是課堂上講解的理論知識的數(shù)值例子，能做出來，會分析，這是對學(xué)生的鍛煉，也能提高學(xué)生的動手能力和學(xué)習(xí)積極性。以下我們對以上案例進(jìn)行分析。1.通過案例1，學(xué)生得到結(jié)果后能了解到，在相同的節(jié)點(diǎn)條件下，利用拉格朗日插值和牛頓插值得到的插值多項(xiàng)式是一樣的，這與課堂的理論分析完全一致。這個結(jié)果是學(xué)生自己完成實(shí)驗(yàn)后得到的，與課堂理論分析結(jié)合，學(xué)生更能理解兩種插值的相同之處。而通過編寫兩個插值方法的MATLAB程序，學(xué)生既可以學(xué)習(xí)編程，還可以掌握兩者達(dá)到同一目的的不同之處。
2.通過上例可得出拉格朗日插值和牛頓插值結(jié)果
一樣的結(jié)論，所以對四次多項(xiàng)式y(tǒng)=x4+x3+x2+x+1進(jìn)行5點(diǎn)插值只需利用拉格朗日插值即可。學(xué)生可通過得到的結(jié)果和圖形知道，其實(shí)得到的插值多項(xiàng)式就是原來的四次多項(xiàng)式本身，原函數(shù)和插值多項(xiàng)式兩者的誤差為零。這個結(jié)論可以提示學(xué)生通過拉格朗日插值理論的誤差公式解釋和分析，從而復(fù)習(xí)和掌握拉格朗日插值誤差公式。
3.通過案例1得到的插值多項(xiàng)式的圖形對比原函數(shù)圖形
一般來說函數(shù)的5點(diǎn)插值的逼近效果還是不理想的，誤差比較大。若要提高逼近效果，首先讓學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)觀察提高節(jié)點(diǎn)個數(shù)對插值的逼近效果的影響。所以設(shè)計了一個對比實(shí)驗(yàn)讓學(xué)生對兩個函數(shù)進(jìn)行高次插值。通過實(shí)驗(yàn)結(jié)果的觀察可知，對于函數(shù)y=sin（x），x∈（-2π，2π），11點(diǎn)的.插值逼近效果在整個區(qū)間上都比5點(diǎn)插值效果好，幾乎和原函數(shù)重合了提高插值次數(shù)達(dá)到了良好的效果。而對于龍格函數(shù)f（x）=11+25x2，x∈（-1，1），高次插值出現(xiàn)了龍格現(xiàn)象，即區(qū)間中間部分逼近效果非常好，而區(qū)間兩邊出現(xiàn)非常大的震蕩。通過這兩個案例的比較分析，讓學(xué)生自己總結(jié)出光靠增加節(jié)點(diǎn)個數(shù)提高插值的逼近效果不可行，需要另找辦法。龍格現(xiàn)象是插值理論的重要知識點(diǎn)，在課堂教學(xué)中學(xué)生對該現(xiàn)象只停留在理論上，通過該實(shí)驗(yàn)案例的分析，學(xué)生在自己做出龍格現(xiàn)象圖形的時候，能加深對龍格現(xiàn)象和拉格朗日插值的缺點(diǎn)的理解。而對于學(xué)生普遍會存在疑問，龍格現(xiàn)象只是龍格函數(shù)的特有現(xiàn)象嗎？y=sin（x），x∈（-2π，2π）不會出現(xiàn)龍格現(xiàn)象嗎？可提示學(xué)生繼續(xù)對沒有出現(xiàn)龍格現(xiàn)象的函數(shù)增加插值節(jié)點(diǎn)，觀察龍格現(xiàn)象是否是所有函數(shù)的共有特點(diǎn)，并且這可以留作實(shí)驗(yàn)作業(yè)讓學(xué)生課后自己完成。
4.此案例提供一個提高逼近效果的方法，就是分段插值
利用分段插值，可以在增加節(jié)點(diǎn)個數(shù)的情況下，保持插值次數(shù)不增加，從而保證的插值效果。學(xué)生通過此案例可以理解為什么介紹完整體插值后還需要講解分段插值，老師在以后介紹數(shù)值積分中的復(fù)化積分公式的時候，進(jìn)行比較講解。5.通過切比雪夫點(diǎn)的插值案例，提示學(xué)生分段插值不是提高逼近效果的唯一方法，通過改變節(jié)點(diǎn)的選取，把原來的等距節(jié)點(diǎn)變?yōu)閰^(qū)間上正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)，可以在增加節(jié)點(diǎn)個數(shù)，讓拉格朗日插值的逼近效果也相應(yīng)提高而不會出現(xiàn)龍格現(xiàn)象。這個案例可以和以后數(shù)值積分中的高斯求積公式配合，讓學(xué)生了解正交多項(xiàng)式的零點(diǎn)在函數(shù)逼近方面的重要應(yīng)用。并且在介紹完[-1，1]上的切比雪夫點(diǎn)插值后，可以預(yù)留作業(yè)，讓學(xué)生在其他區(qū)間上尋找正交多項(xiàng)式零點(diǎn)進(jìn)行拉格朗日插值，讓學(xué)生對正交多項(xiàng)式理論加深印象，為以后數(shù)值積分的高斯求積公式的介紹鋪墊。
二、結(jié)束語
本文介紹了在數(shù)值分析實(shí)驗(yàn)教學(xué)中引入比較教學(xué)法，通過在函數(shù)插值實(shí)驗(yàn)中設(shè)計的幾對比較案例，讓學(xué)生在完成實(shí)驗(yàn)過程中經(jīng)比較加深理解和掌握理論課上介紹的知識。課堂理論教學(xué)讓學(xué)生聽與看獲得理論知識，實(shí)驗(yàn)教學(xué)強(qiáng)調(diào)學(xué)生做，讓學(xué)生在做的過程中獲得比在課堂聽更多的知識和操作方法，也是把學(xué)到的知識用到實(shí)際中關(guān)鍵的一步。通過在學(xué)生中進(jìn)行的教學(xué)試驗(yàn)，學(xué)生在一個綜合設(shè)計性實(shí)驗(yàn)（4課時）中，在有MATLAB基礎(chǔ)的前提下，完全能從編寫程序，學(xué)會程序的操作開始，獨(dú)立完成以上比較實(shí)驗(yàn)，并且能針對每個比較實(shí)驗(yàn)的案例，給出合理的理論分析，達(dá)到良好的教學(xué)效果。
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