三角函數的圖象與性質教學設計

　　●知識梳理

　　1.三角函數的圖象和性質

　　函 數

　　性 質=sinx=csx=tanx

　　定義域

　　值域

　　圖象

　　奇偶性

　　周期性

　　單調性

　　對稱性

　　注：讀者自己填寫.

　　2.圖象與性質是一個密不可分的整體，研究性質要注意聯想圖象.

　　●學生練習

　　1.函數=sin（ －2x）+sin2x的最小正周期是

　　A.2πB.πC. D.4π

　　解析：= cs2x－ sin2x+sin2x= cs2x+ sin2x=sin（ +2x），T=π.

　　答案：B

　　2.若f（x）sinx是周期為π的奇函數，則f（x）可以是

　　A.sinxB.csxC.sin2xD.cs2x

　　解析：檢驗.

　　答案：B

　　3.函數=2sin（ －2x）（x∈［0，π］）為增函數的區間是

　　A.［0， ］B.［ ， ］

　　C.［ ， ］D.［ ，π］

　　解析：由=2sin（ －2x）=－2sin（2x－ ）其增區間可由=2sin（2x－ ）的減區間得到，即2π+ ≤2x－ ≤2π+ ，∈Z.

　　∴π+ ≤x≤π+ ，∈Z.

　　令=0，故選C.

　　答案：C

　　4.把=sinx的圖象向左平移 個單位，得到函數____________的圖象；再把所得圖象上的所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，而縱坐標保持不變，得到函數____________的圖象.

　　解析：向左平移 個單位，即以x+ 代x，得到函數=sin（x+ ），再把所得圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍，即以 x代x，得到函數：=sin（ x+ ）.

　　答案：=sin（x+ ） =sin（ x+ ）

　　5.函數=lg（csx－sinx）的定義域是_______.

　　解析：由csx－sinx＞0 csx＞sinx.由圖象觀察，知2π－ ＜x＜2π+ （∈Z）.

　　答案：2π－ ＜x＜2π+ （∈Z）

　　●典例剖析

　　【例1】 （1）=csx+cs（x+ ）的最大值是_______；

　　（2）=2sin（3x－ ）的圖象的兩條相鄰對稱軸之間的距離是_______.

　　剖析：（1）=csx+ csx－ sinx

　　= csx－ sinx= （ csx－ sinx）

　　= sin（ －x）.

　　所以ax= .

　　（2）T= ，相鄰對稱軸間的距離為 .

　　答案：

　　【例2】 （1）已知f（x）的定義域為［0，1），求f（csx）的定義域；

　　（2）求函數=lgsin（csx）的定義域.

　　剖析：求函數的定義域：（1）要使0≤csx≤1，（2）要使sin（csx）＞0，這里的csx以它的值充當角.

　　解：（1）0≤csx＜1 2π－ ≤x≤2π+ ，且x≠2π（∈Z）.

　　∴所求函數的定義域為{x｜x∈［2π－ ，2π+ ］且x≠2π，∈Z｝.

　　（2）由sin（csx）＞0 2π＜csx＜2π+π（∈Z）.又∵－1≤csx≤1，∴0＜csx≤1.故所求定義域為{x｜x∈（2π－ ，2π+ ），∈Z｝.

　　評述：求三角函數的定義域，要解三角不等式，常用的方法有二：一是圖象，二是三角函數線.

　　【例3】 求函數=sin6x+cs6x的最小正周期，并求x為何值時，有最大值.

　　剖析：將原函數化成=Asin（ωx+ ）+B的形式，即可求解.

　　解：=sin6x+cs6x=（sin2x+cs2x）（sin4x－sin2xcs2x+cs4x）=1－3sin2xcs2x=1－ sin22x= cs4x+ .

　　∴T= .

　　當cs4x=1，即x= （∈Z）時，ax=1.

　　深化拓展

　　函數=tan（ax+θ）（a＞0）當x從n變化為n+1（n∈Z）時，的值恰好由－∞變為+∞，則a=_______.

　　分析：你知道函數的.周期T嗎?

　　答案：π

　　●闖關訓練

　　夯實基礎

　　1.若函數f（x）=sin（ωx+ ）的圖象（部分）如下圖所示，則ω和 的取值是

　　A.ω=1， = B.ω=1， =－

　　C.ω= ， = D.ω= ， =－

　　解析：由圖象知，T=4（ + ）=4π= ，∴ω= .

　　又當x= 時，=1，∴sin（ × + ）=1，

　　+ =2π+ ，∈Z，當=0時， = .

　　答案：C

　　2. f（x）=2cs2x+ sin2x+a（a為實常數）在區間［0， ］上的最小值為－4，那么a的值等于

　　A.4B.－6C.－4D.－3

　　解析：f（x）=1+cs2x+ sin2x+a

　　=2sin（2x+ ）+a+1.

　　∵x∈［0， ］，∴2x+ ∈［ ， ］.

　　∴f（x）的最小值為2×（－ ）+a+1=－4.

　　∴a=－4.

　　答案：C

　　3.函數= 的定義域是_________.

　　解析：－sin ≥0 sin ≤0 2π－π≤ ≤2π 6π－3π≤x≤6π（∈Z）.

　　答案：6π－3π≤x≤6π（∈Z）

　　4.函數=tanx－ctx的最小正周期為____________.

　　解析：= － =－2ct2x，T= .

　　答案：

　　5.求函數f（x）= 的最小正周期、最大值和最小值.

　　解：f（x）=

　　= = （1+sinxcsx）

　　= sin2x+ ，

　　所以函數f（x）的最小正周期是π，最大值是 ，最小值是 .

　　6.已知x∈［ ， ］，函數=cs2x－sinx+b+1的最大值為 ，試求其最小值.

　　解：∵=－2（sinx+ ）2+ +b，

　　又－1≤sinx≤ ，∴當sinx=－ 時，

　　ax= +b= b=－1；

　　當sinx= 時，in=－ .

　　培養能力

　　7.求使 = sin（ － ）成立的θ的區間.

　　解： = sin（ － ）

　　= （ sin － cs ） ｜sin －cs ｜=sin －cs

　　sin ≥cs 2π+ ≤ ≤2π+ （∈Z）.

　　因此θ∈［4π+ ，4π+ ］（∈Z）.

　　8.已知方程sinx+csx=在0≤x≤π上有兩解，求的取值范圍.

　　解：原方程sinx+csx= sin（x+ ）=，在同一坐標系內作函數1= sin（x+ ）與2=的圖象.對于= sin（x+ ），令x=0，得=1.

　　∴當∈［1， ）時，觀察知兩曲線在［0，π］上有兩交點，方程有兩解.

　　評述：本題是通過函數圖象交點個數判斷方程實數解的個數，應重視這種方法.

　　探究創新

　　9.已知函數f（x）=

　　（1）畫出f（x）的圖象，并寫出其單調區間、最大值、最小值；

　　（2）判斷f（x）是否為周期函數.如果是，求出最小正周期.

　　解：（1）實線即為f（x）的圖象.

　　單調增區間為［2π+ ，2π+ ］，［2π+ ，2π+2π］（∈Z），

　　單調減區間為［2π，2π+ ］，［2π+ ，2π+ ］（∈Z），

　　f（x）ax=1，f（x）in=－ .

　　（2）f（x）為周期函數，T=2π.

　　●思悟小結

　　1.三角函數是函數的一個分支，它除了符合函數的所有關系和共性外，還有它自身的屬性.

　　2.求三角函數式的最小正周期時，要盡可能地化為只含一個三角函數，且三角函數的次數為1的形式，否則很容易出現錯誤.

　　●教師下載中心

　　教學點睛

　　1.知識精講由學生填寫，起到回顧作用.

　　2.例2、例4作為重點講解，例1、例3誘導即可.

　　拓展題例

　　【例1】 已知sinα＞sinβ，那么下列命題成立的是

　　A.若α、β是第一象限角，則csα＞csβ

　　B.若α、β是第二象限角，則tanα＞tanβ

　　C.若α、β是第三象限角，則csα＞csβ

　　D.若α、β是第四象限角，則tanα＞tanβ

　　解析：借助三角函數線易得結論.

　　答案：Ｄ

　　【例2】 函數f（x）=－sin2x+sinx+a，若1≤f（x）≤ 對一切x∈R恒成立，求a的取值范圍.

　　解：f（x）=－sin2x+sinx+a

　　=－（sinx－ ）2+a+ .

　　由1≤f（x）≤

　　1≤－（sinx－ ）2+a+ ≤

　　a－4≤（sinx－ ）2≤a－ .①

　　由－1≤sinx≤1 － ≤sinx－ ≤

　　（sinx－ ） = ，（sinx－ ） =0.

　　∴要使①式恒成立，

　　只需 3≤a≤4.

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