排列組合教案
作為一位杰出的老師，編寫教案是必不可少的，通過教案準備可以更好地根據具體情況對教學進程做適當的必要的調整。那么應當如何寫教案呢？以下是小編為大家收集的排列組合教案，歡迎大家借鑒與參考，希望對大家有所幫助。
排列組合教案1
教學目標
（1）正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列；
（2）了解排列和排列數的意義，能根據具體的問題，寫出符合要求的排列；
（3）掌握排列數公式，并能根據具體的問題，寫出符合要求的排列數；
（4）會分析與數字有關的排列問題，培養學生的抽象能力和邏輯思維能力；
（5）通過對排列應用問題的學習，讓學生通過對具體事例的觀察、歸納中找出規律，得出結論，以培養學生嚴謹的學習態度。
教學建議
一、知識結構
二、重點難點分析
本小節的重點是排列的定義、排列數及排列數的公式，并運用這個公式去解決有關排列數的應用問題。難點是導出排列數的公式和解有關排列的應用題。突破重點、難點的關鍵是對加法原理和乘法原理的掌握和運用，并將這兩個原理的基本思想方法貫穿在解決排列應用問題當中。
從n個不同元素中任取（≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，稱為從n個不同元素中任取個元素的一個排列。因此，兩個相同排列，當且僅當他們的元素完全相同，并且元素的排列順序也完全相同。排列數是指從n個不同元素中任取（≤n）個元素的所有不同排列的種數，只要弄清相同排列、不同排列，才有可能計算相應的排列數。排列與排列數是兩個概念，前者是具有個元素的排列，后者是這種排列的不同種數。從集合的角度看，從n個元素的有限集中取出個組成的有序集，相當于一個排列，而這種有序集的個數，就是相應的排列數。
公式推導要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來講解。要重點分析好的推導。
排列的應用題是本節教材的難點，通過本節例題的分析，應注意培養學生解決應用問題的能力。
在分析應用題的解法時，教材上先畫出框圖，然后分析逐次填入時的種數，這樣解釋比較直觀，教學上要充分利用，要求學生作題時也應盡量采用。
在教學排列應用題時，開始應要求學生寫解法要有簡要的文字說明，防止單純的只寫一個排列數，這樣可以培養學生的分析問題的能力，在基本掌握之后，可以逐漸地不作這方面的要求。
三、教法建議
①在講解排列數的概念時，要注意區分“排列數”與“一個排列”這兩個概念。一個排列是指“從n個不同元素中，任取出個元素，按照一定的順序擺成一排”，它不是一個數，而是具體的一件事；排列數是指“從n個不同元素中取出個元素的所有排列的個數”，它是一個數。例如，從3個元素a，b，c中每次取出2個元素，按照一定的順序排成一排，有如下幾種：
ab，ac，ba，bc，ca，cb，
其中每一種都叫一個排列，共有6種，而數字6就是排列數，符號表示排列數。
②排列的定義中包含兩個基本內容，一是“取出元素”，二是“按一定順序排列”。
從定義知，只有當元素完全相同，并且元素排列的順序也完全相同時，才是同一個排列，元素完全不同，或元素部分相同或元素完全相同而順序不同的排列，都不是同一排列。叫不同排列。
在定義中“一定順序”就是說與位置有關，在實際問題中，要由具體問題的性質和條件來決定，這一點要特別注意，這也是與后面學習的組合的根本區別。
在排列的定義中，如果有的書上叫選排列，如果，此時叫全排列。
要特別注意，不加特殊說明，本章不研究重復排列問題。
③關于排列數公式的推導的教學。公式推導要注意緊扣乘法原理，借助框圖的直視解釋來講解。課本上用的是不完全歸納法，先推導，…，再推廣到，這樣由特殊到一般，由具體到抽象的講法，學生是不難理解的
導出公式后要分析這個公式的構成特點，以便幫助學生正確地記憶公式，防止學生在“n”、“”比較復雜的時候把公式寫錯。這個公式的特點可見課本第229頁的一段話：“其中，公式右邊第一個因數是n，后面每個因數都比它前面一個因數少1，最后一個因數是，共個因數相乘。”這實際是講三個特點：第一個因數是什么？最后一個因數是什么？一共有多少個連續的自然數相乘。
公式是在引出全排列數公式后，將排列數公式變形后得到的公式。對這個公式指出兩點：（1）在一般情況下，要計算具體的排列數的值，常用前一個公式，而要對含有字母的排列數的式子進行變形或作有關的論證，要用到這個公式，教材中第230頁例2就是用這個公式證明的問題；（2）為使這個公式在時也能成立，規定，如同時一樣，是一種規定，因此，不能按階乘數的原意作解釋。
④建議應充分利用樹形圖對問題進行分析，這樣比較直觀，便于理解。
⑤學生在開始做排列應用題的作業時，應要求他們寫出解法的簡要說明，而不能只列出算式、得出答數，這樣有利于學生得更加扎實。隨著學生解題熟練程度的提高，可以逐步降低這種要求。
教學設計示例
排列
教學目標
（1）正確理解排列的意義。能利用樹形圖寫出簡單問題的所有排列；
（2）了解排列和排列數的意義，能根據具體的問題，寫出符合要求的排列；
（3）會分析與數字有關的排列問題，培養學生的抽象能力和邏輯思維能力；
教學重點難點
重點是排列的定義、排列數并運用這個公式去解決有關排列數的應用問題。
難點是解有關排列的應用題。
教學過程設計
一、復習引入
上節課我們學習了兩個基本原理，請大家完成以下兩題的練習（用投影儀出示）：
1。書架上層放著50本不同的社會科學書，下層放著40本不同的自然科學的書。
（1）從中任取1本，有多少種取法？
（2）從中任取社會科學書與自然科學書各1本，有多少種不同的取法？
2。某農場為了考察三個外地優良品種A，B，C，計劃在甲、乙、丙、丁、戊共五種類型的土地上分別進行引種試驗，問共需安排多少個試驗小區？
找一同學談解答并說明怎樣思考的的過程
第1（1）小題從書架上任取1本書，有兩類辦法，第一類辦法是從上層取社會科學書，可以從50本中任取1本，有50種方法；第二類辦法是從下層取自然科學書，可以從40本中任取1本，有40種方法。根據加法原理，得到不同的取法種數是50+40=90。第（2）小題從書架上取社會科學、自然科學書各1本（共取出2本），可以分兩個步驟完成：第一步取一本社會科學書，第二步取一本自然科學書，根據乘法原理，得到不同的取法種數是： 50×40=20xx。
第2題說，共有A，B，C三個優良品種，而每個品種在甲類型土地上實驗有三個小區，在乙類型的土地上有三個小區……所以共需3×5=15個實驗小區。
二、講授新課
學習了兩個基本原理之后，現在我們繼續學習排列問題，這是我們本節討論的重點。先從實例入手：
1。北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航線，需要準備多少種不同飛機票？
由學生設計好方案并回答。
（1）用加法原理設計方案。
首先確定起點站，如果北京是起點站，終點站是上海或廣州，需要制2種飛機票，若起點站是上海，終點站是北京或廣州，又需制2種飛機票；若起點站是廣州，終點站是北京或上海，又需要2種飛機票，共需要2+2+2=6種飛機票。
（2）用乘法原理設計方案。
首先確定起點站，在三個站中，任選一個站為起點站，有3種方法。即北京、上海、廣泛任意一個城市為起點站，當選定起點站后，再確定終點站，由于已經選了起點站，終點站只能在其余兩個站去選。那么，根據乘法原理，在三個民航站中，每次取兩個，按起點站在前、終點站在后的順序排列不同方法共有3×2=6種。
根據以上分析由學生（板演）寫出所有種飛機票
再看一個實例。
在航海中，船艦常以“旗語”相互聯系，即利用不同顏色的旗子發送出各種不同的信號。如有紅、黃、綠三面不同顏色的旗子，按一定順序同時升起表示一定的信號，問這樣總共可以表示出多少種不同的信號？
找學生談自己對這個問題的想法。
事實上，紅、黃、綠三面旗子按一定順序的一個排法表示一種信號，所以不同顏色的同時升起可以表示出來的信號種數，也就是紅、黃、綠這三面旗子的所有不同順序的排法總數。
首先，先確定最高位置的旗子，在紅、黃、綠這三面旗子中任取一個，有3種方法；
其次，確定中間位置的旗子，當最高位置確定之后，中間位置的旗子只能從余下的兩面旗中去取，有2種方法。剩下那面旗子，放在最低位置。
根據乘法原理，用紅、黃、綠這三面旗子同時升起表示出所有信號種數是：3×2×1=6（種）。
根據學生的分析，由另外的同學（板演）寫出三面旗子同時升起表示信號的所有情況。（包括每個位置情況）
第三個實例，讓全體學生都參加設計，把所有情況（包括每個位置情況）寫出來。
由數字1，2，3，4可以組成多少個沒有重復數字的三位數？寫出這些所有的三位數。
根據乘法原理，從四個不同的數字中，每次取出三個排成三位數的方法共有4×3×2=24（個）。
請板演的學生談談怎樣想的？
第一步，先確定百位上的數字。在1，2，3，4這四個數字中任取一個，有4種取法。
第二步，確定十位上的數字。當百位上的數字確定以后，十位上的數字只能從余下的三個數字去取，有3種方法。
第三步，確定個位上的數字。當百位、十位上的數字都確定以后，個位上的數字只能從余下的兩個數字中去取，有2種方法。
根據乘法原理，所以共有4×3×2=24種。
下面由教師提問，學生回答下列問題
（1）以上我們討論了三個實例，這三個問題有什么共同的'地方？
都是從一些研究的對象之中取出某些研究的對象。
（2）取出的這些研究對象又做些什么？
實質上按著順序排成一排，交換不同的位置就是不同的情況。
（3）請大家看書，第×頁、第×行。我們把被取的對象叫做雙元素，如上面問題中的民航站、旗子、數字都是元素。
上面第一個問題就是從3個不同的元素中，任取2個，然后按一定順序排成一列，求一共有多少種不同的排法，后來又寫出所有排法。
第二個問題，就是從3個不同元素中，取出3個，然后按一定順序排成一列，求一共有多少排法和寫出所有排法。
第三個問題呢？
從4個不同的元素中，任取3個，然后按一定的順序排成一列，求一共有多少種不同的排法，并寫出所有的排法。
給出排列定義
請看課本，第×頁，第×行。一般地說，從n個不同的元素中，任取（≤n）個元素（本章只研究被取出的元素各不相同的情況），按著一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出個元素的一個排列。
下面由教師提問，學生回答下列問題
（1）按著這個定義，結合上面的問題，請同學們談談什么是相同的排列？什么是不同的排列？
從排列的定義知道，如果兩個排列相同，不僅這兩個排列的元素必須完全相同，而且排列的順序（即元素所在的位置）也必須相同。兩個條件中，只要有一個條件不符合，就是不同的排列。
如第一個問題中，北京—廣州，上海—廣州是兩個排列，第三個問題中，213與423也是兩個排列。
再如第一個問題中，北京—廣州，廣州—北京；第二個問題中，紅黃綠與紅綠黃；第三個問題中231和213雖然元素完全相同，但排列順序不同，也是兩個排列。
（2）還需要搞清楚一個問題，“一個排列”是不是一個數？
生：“一個排列”不應當是一個數，而應當指一件具體的事。如飛機票“北京—廣州”是一個排列，“紅黃綠”是一種信號，也是一個排列。如果問飛機票有多少種？能表示出多少種信號。只問種數，不用把所有情況羅列出來，才是一個數。前面提到的第三個問題，實質上也是這樣的
三、課堂練習
大家思考，下面的排列問題怎樣解？
有四張卡片，每張分別寫著數碼1，2，3，4。有四個空箱，分別寫著號碼1，2，3，4。把卡片放到空箱內，每箱必須并且只能放一張，而且卡片數碼與箱子號碼必須不一致，問有多少種放法？（用投影儀示出）
分析：這是從四張卡片中取出4張，分別放在四個位置上，只要交換卡片位置，就是不同的放法，是個附有條件的排列問題。
解法是：第一步把數碼卡片四張中2，3，4三張任選一個放在第1空箱。
第二步從余下的三張卡片中任選符合條件的一張放在第2空箱。
第三步從余下的兩張卡片中任選符合條件的一張放在第3空箱。
第四步把最后符合條件的一張放在第四空箱。具體排法，用下面圖表表示：
所以，共有9種放法。
四、作業
課本：P232練習1，2，3，4，5，6，7。
數學教案—排列教學目標
排列組合教案2
一．課標要求：
1．分類加法計數原理、分步乘法計數原理
通過實例，總結出分類加法計數原理、分步乘法計數原理；能根據具體問題的特征，選擇分類加法計數原理或分步乘法計數原理解決一些簡單的實際問題；
2．排列與組合
通過實例，理解排列、組合的概念；能利用計數原理推導排列數公式、組合數公式，并能解決簡單的實際問題；
3．二項式定理
能用計數原理證明二項式定理；會用二項式定理解決與二項展開式有關的簡單問題。
二．命題走向
本部分內容主要包括分類計數原理、分步計數原理、排列與組合、二項式定理三部分；考查內容：（1）兩個原理；（2）排列、組合的概念，排列數和組合數公式，排列和組合的應用；（3）二項式定理，二項展開式的通項公式，二項式系數及二項式系數和。
排列、組合不僅是高中數學的重點內容，而且在實際中有廣泛的應用，因此新高考會有題目涉及；二項式定理是高中數學的重點內容，也是高考每年必考內容，新高考會繼續考察。
考察形式：單獨的考題會以選擇題、填空題的形式出現，屬于中低難度的題目，排列組合有時與概率結合出現在解答題中難度較小，屬于高考題中的中低檔題目。
三．要點精講
1．排列、組合、二項式知識相互關系表
2．兩個基本原理
（1）分類計數原理中的分類；
（2）分步計數原理中的分步；
正確地分類與分步是學好這一章的關鍵。
3．排列
（1）排列定義，排列數
（2）排列數公式：系= =n·（n－1）…（n－m+1）；
（3）全排列列：=n！；
（4）記住下列幾個階乘數：1！=1，2！=2，3！=6，4！=24，5！=120，6！=720；
4．組合
（1）組合的定義，排列與組合的區別；
（2）組合數公式：Cnm= =；
（3）組合數的性質
①Cnm=Cnn—m；②；③rCnr=n·Cn—1r—1；④Cn0+Cn1+…+Cnn=2n；⑤Cn0—Cn1+…+（—1）nCnn=0，即Cn0+Cn2+Cn4+…=Cn1+Cn3+…=2n—1；
5．二項式定理
（1）二項式展開公式：（a+b）n=Cn0an+Cn1an—1b+…+Cnkan—kbk+…+Cnnbn；
（2）通項公式：二項式展開式中第k+1項的通項公式是：Tk+1=Cnkan—kbk；
6．二項式的應用
（1）求某些多項式系數的和；
（2）證明一些簡單的組合恒等式；
（3）證明整除性。①求數的末位；②數的整除性及求系數；③簡單多項式的整除問題；
（4）近似計算。當|x|充分小時，我們常用下列公式估計近似值：
①（1+x）n≈1+nx；②（1+x）n≈1+nx+ x2；（5）證明不等式。
四．典例解析
題型1：計數原理
例1．完成下列選擇題與填空題
（1）有三個不同的信箱，今有四封不同的信欲投其中，則不同的投法有種。
A．81 B．64 C．24 D．4
（2）四名學生爭奪三項冠軍，獲得冠軍的可能的種數是（）
A．81 B．64 C．24 D．4
（3）有四位學生參加三項不同的競賽，
①每位學生必須參加一項競賽，則有不同的參賽方法有；
②每項競賽只許有一位學生參加，則有不同的參賽方法有；
③每位學生最多參加一項競賽，每項競賽只許有一位學生參加，則不同的參賽方法有。
例2．（06江蘇卷）今有2個紅球、3個黃球、4個白球，同色球不加以區分，將這9個球排成一列有種不同的方法（用數字作答）。
點評：分步計數原理與分類計數原理是排列組合中解決問題的重要手段，也是基礎方法，在高中數學中，只有這兩個原理，尤其是分類計數原理與分類討論有很多相通之處，當遇到比較復雜的問題時，用分類的方法可以有效的將之化簡，達到求解的目的。
題型2：排列問題
例3．（1）（20xx四川理卷13）
展開式中的系數為？______ _________。
【點評】：此題重點考察二項展開式中指定項的系數，以及組合思想；
（2）．20xx湖南省長沙云帆實驗學校理科限時訓練
若n展開式中含項的系數與含項的系數之比為－5，則n等于（）
A．4 B．6 C．8 D．10
點評：合理的應用排列的公式處理實際問題，首先應該進入排列問題的情景，想清楚我處理時應該如何去做。
例4．（1）用數字0，1，2，3，4組成沒有重復數字的五位數，則其中數字1，2相鄰的偶數有個（用數字作答）；
（2）電視臺連續播放6個廣告，其中含4個不同的商業廣告和2個不同的公益廣告，要求首尾必須播放公益廣告，則共有種不同的播放方式（結果用數值表示）。
點評：排列問題不可能解決所有問題，對于較復雜的問題都是以排列公式為輔助。
題型三：組合問題
例5．荊州市20xx屆高中畢業班質量檢測（Ⅱ）
（1）將4個相同的白球和5個相同的黑球全部放入3個不同的盒子中，每個盒子既要有白球，又要有黑球，且每個盒子中都不能同時只放入2個白球和2個黑球，則所有不同的放法種數為（C）A。3 B。6 C。12 D。18
（2）將4個顏色互不相同的球全部放入編號為1和2的兩個盒子里，使得放入每個盒子里的球的個數不小于該盒子的編號，則不同的放球方法有（）
A．10種B．20種C．36種D．52種
點評：計數原理是解決較為復雜的排列組合問題的基礎，應用計數原理結合
例6．（1）某校從8名教師中選派4名教師同時去4個邊遠地區支教（每地1人），其中甲和乙不同去，則不同的選派方案共有種；
（2）5名志愿者分到3所學校支教，每個學校至少去一名志愿者，則不同的分派方法共有（）
（A）150種（B）180種（C）200種（D）280種
點評：排列組合的交叉使用可以處理一些復雜問題，諸如分組問題等；
題型4：排列、組合的綜合問題
例7．平面上給定10個點，任意三點不共線，由這10個點確定的直線中，無三條直線交于同一點（除原10點外），無兩條直線互相平行。求：（1）這些直線所交成的點的個數（除原10點外）。（2）這些直線交成多少個三角形。
點評：用排列、組合解決有關幾何計算問題，除了應用排列、組合的各種方法與對策之外，還要考慮實際幾何意義。
例8．已知直線ax+by+c=0中的a，b，c是取自集合{－3，－2，－1，0，1，2，3}中的3個不同的元素，并且該直線的傾斜角為銳角，求符合這些條件的直線的條數。
點評：本題是1999年全國高中數學聯賽中的一填空題，據抽樣分析正確率只有0。37。錯誤原因沒有對c=0與c≠0正確分類；沒有考慮c=0中出現重復的直線。
題型5：二項式定理
例9．（1）（20xx湖北卷）
在的展開式中，的冪的指數是整數的項共有
A．3項B．4項C．5項D．6項
（2）的展開式中含x的.正整數指數冪的項數是
（A）0（B）2（C）4（D）6
點評：多項式乘法的進位規則。在求系數過程中，盡量先化簡，降底數的運算級別，盡量化成加減運算，在運算過程可以適當注意令值法的運用，例如求常數項，可令。在二項式的展開式中，要注意項的系數和二項式系數的區別。
例10．（20xx湖南文13）
記的展開式中第m項的系數為，若，則=____5______。
題型6：二項式定理的應用
例11．（1）求4×6n+5n+1被20除后的余數；
（2）7n+Cn17n—1+Cn2·7n—2+…+Cnn—1×7除以9，得余數是多少？
（3）根據下列要求的精確度，求1。025的近似值。①精確到0。01；②精確到0。001。
點評：（1）用二項式定理來處理余數問題或整除問題時，通常把底數適當地拆成兩項之和或之差再按二項式定理展開推得所求結論；
（2）用二項式定理來求近似值，可以根據不同精確度來確定應該取到展開式的第幾項。
五．思維總結
解排列組合應用題的基本規律
1．分類計數原理與分步計數原理使用方法有兩種：①單獨使用；②聯合使用。
2．將具體問題抽象為排列問題或組合問題，是解排列組合應用題的關鍵一步。
3．對于帶限制條件的排列問題，通常從以下三種途徑考慮：
（1）元素分析法：先考慮特殊元素要求，再考慮其他元素；
（2）位置分析法：先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置；
（3）整體排除法：先算出不帶限制條件的排列數，再減去不滿足限制條件的排列數。
4．對解組合問題，應注意以下三點：
（1）對“組合數”恰當的分類計算，是解組合題的常用方法；
（2）是用“直接法”還是“間接法”解組合題，其原則是“正難則反”；
（3）設計“分組方案”是解組合題的關鍵所在。
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