生活中的變量關系教學教案
第二章 函數
2.1生活中的變量關系（學案）
[學習目標]
1、知識與技能
（1）通過實例，了解生活中的變量關系，體會變量與變量之間的相互關系；
（2）知道兩變量之間有相互依賴關系不一定就有函數關系；
（3）了解兩變量之間有函數關系具備的條件；
2、 過程與方法
（1）從實踐生活中發現變量之間存在關系的過程，感知函數的意義.
（2）注意收集歸納生活中變量之間的關系.
3、情感.態度與價值觀
培養善于觀察發現的責任心，增強學習的積極性.
[學習重點]: 現實生活中的實例中的變量關系.
[學習難點]：對于兩變量之間的函數關系的理解.
[學習教具]：實例圖片
[學習方法]：提供信息材料，自主學習、思考、交流、討論和概括.
[學習過程]
世界是變化的,許多變量之間有著相互依賴的關系，變量與變量的依賴關系在生活中隨處可見,與我們息息相關.函數就描述了因變量隨自變量而變化的依賴關系.
[互動過程1]：
回顧復習：初中我們學習過哪些函數？
你能說出函數描述了幾個變量之間的關系？它們分別是什么變量？
因變量y與自變量x之間什么樣的依賴關系？什么是函數嗎？
由于函數的概念比較抽象，不好理解，教師可以提示：
因變量y隨自變量x的變化而變化：即一個x的取值有唯一確定的值y與之對應則稱y是x的函數.
函數的概念：
設在一個變化過程中有兩個變量x與y, 如果對于x的每一個值, y都有唯一的值與它對應, 那么就說y是x的函數.x叫做自變量.
注意:并非有依賴關系的兩個變量都有函數關系.
[互動過程2]：
下面我們在高速公路的情景下,看看你能發現哪些函數關系?
1．由掛圖提供下面有關的數據,請同學們根據下列數據思考表中有幾個變量?這些變量之
間有沒有函數關系?
你能利用表中的數據畫出圖形，并觀察它們之間的關系嗎？.
這樣就更清楚的表現出變量之間的依賴關系和變化關系了.
問題:里程與年份之間是否有函數關系?
從這里可以看出函數可以關系可以由 表示,也可以用 法,另外,還有 法.
[互動過程3]：
2．高速公路上我們還會聯想到行駛的汽車,自然會想到時間與路程、速度的關系,還有什
么變量關系?
[互動過程4]：
問題:思考儲油量 是否為d的函數? 儲油量 是否
為截面半徑r的函數呢?
【課堂練習】教材P.25 練習:
4．（全國一2）汽車經過啟動、加速行駛、勻速行駛、減速行駛之后停車，若把這一過程中汽車的行駛路程 看作時間 的函數，其圖像可能是（ ）
5．（07江西）四位好朋友在一次聚會上，他們按照各自的愛好選擇了形狀不同、內空高度相等、杯口半徑相等的圓口酒杯，如圖所示．盛滿酒后他們約定：先各自飲杯中
酒的一半．設剩余酒的高度從左到右依次為h1，h2，h3，h4，則它們的大小關系正確
的是（ ）
A．h2＞h1＞h4 B．h1＞h2＞h3 C．h3＞h2＞h4 D．h2＞h4＞h1
數列求和
數列的求和
目的：小結數列求和的常用方法，尤其是要求學生初步掌握用拆項法、裂項法和錯位法求一些特殊的數列。
過程：
基本公式：
1.等差數列的前 項和公式：
2．等比數列的前n項和公式：
當 時， ① 或 ②
當q=1時，
一、特殊數列求和－－常用數列的前n項和及其應用：
例1 設等差數列{an}的前n項和為Sn，且 ，
求數列{an}的前n項和
——由題和等差數列的前n項和公式先求通項公式an，再sn
例3 求和S =1×2×3+2×3×4+…+n(n+1)(n+2)．
——關鍵是處理好通項：n(n+1)(n+2)=n +3n +2n，
應用 特殊公式和分組求解的方法。
二、拆項法(分組求和法)：
例4求數列
的前n項和。
——拆成等比數 和列等差數列 {3n-2},應用公式求和，注意分a=1和 兩類討論.
三、裂項（相消）法：
例5求數列 前n項和
——關鍵是處理好通項（裂項）.設數列的通項為bn，則
例6求數列 前n項和
解：
四、錯位法：
例7 求數列 前n項和
解： ①
兩式相減：
五、作業：
1. 求數列 前n項和
2. 求數列 前n項和
3. 求和： (5050)
4. 求和：1×4 + 2×5 + 3×6 + ……+ n×(n + 1)
5. 求數列1，(1+a)，(1+a+a2)，……，(1+a+a2+……+an1)，……前n項和
對數函數
2.3.2 對數函數（三）
【學習目標】:
1．掌握對數函數的定義、圖像和性質，會運用對數函數的知識解綜合題；
2．了解復合形式的對數函數問題的解法。
【過程】：
一、復習引入：
1．回顧對數函數的定義、圖像和性質：
2．函數 的圖象必經過定點
3．函數 的定義域是為M， 的定義域是為N，那么
4．函數 的值域是
二、典例欣賞：
例1．判斷函數 的奇偶性.
變題1：已知函數 ，若 ，則 _________。
變題2：已知函數 是奇函數，求實數 的值。
例2．判斷函數 ( )的單調性.
變題1：求下列函數的單調區間：
（1） ； （2）
變題2：已知 在區間 上是增函數，求實數a的取值范圍。
變題3：已知函數 .
（1）求證：函數 在 內單調遞增；
（2）若關于 的方程 在 上有解，求實數 的取值范圍.
變題4：已知函數 ，
（1）若定義域為R，求實數a的取值范圍；
（2）若定義域為 ，求實數a的取值集合；
（3）若值域為R，求實數a的取值范圍；
（4）若值域為 ，求實數a的取值集合．
【針對訓練】 班級 姓名 學號
1．函數 過定點
2. 函數 的單調遞增區間是
3．已知函數 是定義在 上的奇函數，且 ，則 時， 的表達式
4. 已知 ，則
5．設 ，若函數 有最小值，則不等式 的解集為 。
6．已知 是 上的減函數，那么 的取值范圍是
7.若函數 的定義域為R,求 的取值范圍.
8．函數 在 上是增函數，求實數 的取值范圍.
9．已知函數 滿足：對任意實數 ，當 時，總有 ，求實數a的取值范圍。
10.設 ，且x+2y=1，求函數 的值域.
11.已知函數 .
① 求 的定義域；② 討論 的單調性.
【拓展提高】
12. 已知函數
（1）若函數的定義域為 ，求實數 的取值范圍，
（2）若函數的值域為 ，求實數 的取值范圍。
實際問題的函數刻畫
第四章2.1
課題：實際問題的函數刻畫
【目標要求】
〖學習目標
1、知道什么叫數學模型，知道數學建模的意義。
2、會用函數刻畫現實世界中變量間的依賴關系。
3、知道函數的一些模型。如正反比列函數、一次函數。
〖學習重點、難點
用函數觀點刻畫實際問題。（重點）
準確理解題意，理解變量間的關系。（難點）
【過程方法】
〖預習提要
一、問題1 當人的生活環境溫度改變時，人體代謝率也有相應的變化，表4-2給出了實驗的一組數據，這組數據能說明什么？
環境溫度／(℃) 4 10 20 30 38
代謝率/[4185J/(h .m2)] 60 44 40 40.5 54
（⒈）在這個實際問題中出現了幾個變量？它們之間能確定函數關系嗎？為什么？
（2）、結合圖4-5分析代謝率在什么范圍下降，什么范圍上升？
（3）溫度在什么范圍內代謝率變化較小比較穩定，什么范圍代謝率變化較大？
二、問題2某廠生產一種暢銷的新型工藝品，為此更新專用設備和制作模具花去了200000元，生產每件工藝品的直接成本為300元，每件工藝品的售價為500元，產量z對總成本C、單位成本P、銷售收入R以及利潤L之間存在什么樣的函數關系？表示了什么實際含義？
（1）總成本C與產量x的關系是什么？
（2）單位成本P與產量x的關系是什么？
（3）銷售收入R與產量x的關系是什么？
（4）利潤L與產量x的關系是什么？
（5）利潤關系式是什么函數？當x取何值時虧損、盈利？
〖預習反饋
〖精講釋疑
問題三、問題3如圖4-7，在一條彎曲的河道上，設置了6個水文監測站，現在需要在河邊建一個情報中心，從各監測站沿河邊分別向情報中心鋪設專用通信電纜，怎樣刻畫專用通信電纜的總長度？
〖檢測拓展
類型一：數學模型為正比列、反比列函數的問題
1、一個圓柱形容器的底面直徑為dcm,高度為hcm，現以每秒S 的速度向容器內注入某種溶液，求容器內溶液高度y與時間t（秒）的函數關系式及定義域。
2、有m部同樣的機器一起工作，需要m小時完成一項任務。
（1）設由x部機器（x為不大于m的正整數）完成同一任務，求所需時間y（小時）與機器的部數x的函數關系式。
（2）畫出所求函數當m=4時的圖像。
類型二：數學模型為一次函數
2、某家報刊銷售店從報社買進報紙的價格是每份0.35元，賣出的價格是每份0.50元，賣不掉的報紙還可以以每份0.08元的價格退回報社。在一個月（30天）里，有20天每天都可以賣出400份，其余10天每天只能賣出250份。設每天從報社買進的報紙的數量相同，則應該每天從報社買進多少份才能使每月所獲利潤最大？并計算該銷售點一個月最多可賺的多少元？
4、某人開汽車以60 的速度從A地到150km遠處的B處，在B地停留1h后，再以50 的速度返回A地。把汽車離開A地的'距離x（km）表示為時間t(h)（從A地出發開始）的函數，并畫出函數的圖像；再把車速v（ ）表示為時間t(h)的函數，并畫出函數的圖像。
〖歸納整理
【學/教后感】
函數概念
泗縣三中教案、學案用紙
年級高一
學科數學
課題
函數概念2
授課時間
撰寫人
撰寫時間2011年8月21日
學習重點
求一些簡單函數的定義域與值域，并能用“區間”的符號表示；
學習難點
求函數的定義域與值域及對函數的定義域或值域書寫形式
學習目標
1.會求一些簡單函數的定義域值域
2.對函數概念的進一步理解
3.會對函數的定義域或值域正確書寫
過程
一自主學習
復習
1.函數的概念：
2．函數的三要素是、、. 3.函數 與y＝3x是不是同一個函數？為何？ 4.求函數定義域的規則
練一練
求下列函數的定義域（用區間表示）. （1） ；
（2） ；
（3）
二師生互動
例1求下列函數的值域（用區間表示）： （1）y＝x －3x＋4；（2） ； （3）y＝ ；（4） .
變式：求函數 的值域及定義域。
小結： 求函數值域的常用方法有：
觀察法、配方法、拆分法、基本函數法.
練一練
求下列函數的定義域及值域
（1） （2） （3） 例2對函數 ，以下說法中正確的是
（1） 是 的函數；（2）對于不同的 ， 的值也不同；（3） 表示當x=a時函數 的值，是一個常量；（4） 一定可以用一個具體式子表示出來；（5）當 和 確定后， 的值也就確定了。
三鞏固練習
1.函數 的定義域是（）. A. B. C.RD. 2.函數 的值域是（）. A. B. C. D.R 3.下列各組函數 的圖象相同的是（）
A.
B.
C.
D. 4.函數f(x)= + 的定義域用區間表示是. 5.已知 ， 則 的值 6.函數 對任意實數 滿足條件 ，若 ，則
四課后反思
五課后鞏固練習
1.設一個矩形周長為80，其中一邊長為x，求它的面積y關于x的函數的解析式，并寫出定義域.
2．(2009江西)函數 的定義域
3.（2007北京)已知函數 ， 分別由下表給出
則 的值為 ；當 時， ．
集合的概念及其表示
第一課時 集合(一)
目標：
使學生掌握集合的概念和性質，集合的元素特征，有關數的集合；培養學生的思維能力，提高學生理解掌握概念的能力；培養學生認識事物的能力，引導學生愛班、愛校、愛國.
重點：
集合的概念，集合元素的三個特征.
教學難點：
集合元素的三個特征，數集與數集關系.
教學方法：
嘗試指導法
學生依集合概念的要求、集合元素的特征，在教師指導下，能自己舉出符合要求的實例，加深對概念的理解、特征的掌握.
教學過程：
Ⅰ.復習回顧
師生共同回顧初中代數中涉及“集合”的提法.
［師］同學們回憶一下，在初中代數第六章不等式的解法一節中提到：
一般地，一個含有未知數的不等式的所有的解，組成這個不等式的解的集合，簡稱這個不等式的解集.
不等式解集的定義中涉及到“集合”.
Ⅱ.講授新課
下面我們再看一組實例
幻燈片：
觀察下列實例
(1)數組 1，3，5，7.
(2)到兩定點距離的和等于兩定點間距離的點.
(3)滿足 3x－2＞x＋3 的全體實數.
(4)所有直角三角形.
(5)高一(3)班全體男同學.
(6)所有絕對值等于6的數的集合.
(7)所有絕對值小于3的整數的集合.
(8)中國足球男隊的隊員.
(9)參加2008年奧運會的中國代表團成員.
(10)參與中國加入WTO談判的中方成員.
通過以上實例.教師指出：
1.定義
一般地，某些指定對象集在一起就成為一個集合(集).
師進一步指出：
集合中每個對象叫做這個集合的元素.
［師］上述各例中集合的元素是什么?
［生］例(1)的元素為1，3，5，7.
例(2)的元素為到兩定點距離的和等于兩定點間距離的點.
例(3)的元素為滿足不等式3x－2＞x＋3的實數x.
例(4)的元素為所有直角三角形.
例(5)為高一(3)班全體男同學.
例(6)的元素為－6，6.
例(7)的元素為－2，－1，0，1，2.
例(8)的元素為中國足球男隊的隊員.
例(9)的元素為參加2008年奧運會的中國代表團成員.
例(10)的元素為參與WTO談判的中方成員.
［師］請同學們另外舉出三個例子，并指出其元素.
［生］(1)高一年級所有女同學.
(2)學校學生會所有成員.
(3)我國公民基本道德規范.
其中例(1)的元素為高一年級所有女同學.
例(2)的元素為學生會所有成員.
例(3)的元素為愛國守法、明禮誠信、團結友愛、勤儉自強、敬業奉獻.
［師］一般地來講，用大括號表示集合.
師生共同完成上述例題集合的表示.
如：例(1){1，3，5，7}；
例(2){到兩定點距離的和等于兩定點間距離的點}；
例(3){3x－2＞x＋3的解}；
例(4){直角三角形}；
例(5){高一(3)班全體男同學}；
例(6){－6，6}；
例(7){－2，－1，0，1，2}；
例(8){中國足球男隊隊員}；
例(9){參加2008年奧運會的中國代表團成員}；
例(10){參與WTO談判的中方成員}.
2.集合元素的三個特征
幻燈片：
問題及解釋
(1)A＝{1，3}，問3，5哪個是a的元素?
(2)A＝{所有素質好的人}能否表示為集合?
(3)A＝{2，2，4}表示是否準確?
(4)A＝{太平洋，大西洋}，B＝{大西洋，太平洋}是否表示為同一集合?
生在師的指導下回答問題：
例(1)3是集合A的元素，5不是集合A的元素.例(2)由于素質好的人標準不可量化，故A不能表示為集合.例(3)的表示不準確，應表示為A＝{2，4}.例(4)的A與B表示同一集合，因其元素相同.
由此從所給問題可知，集合元素具有以下三個特征：
(1)確定性
集合中的元素必須是確定的，也就是說，對于一個給定的集合，其元素的意義是明確的.
如上例(1)、例(2)、再如
{參加學校運動會的年齡較小的人}也不能表示為一個集合.
(2)互異性
集合中的元素必須是互異的，也就是說，對于一個給定的集合，它的任何兩個元素都是不同的.
如上例(3)，再如
A＝{1，1，1，2，4，6}應表示為A＝{1，2，4，6}.
(3)無序性
集合中的元素是無先后順序，也就是說，對于一個給定集合，它的任何兩個元素都是可以交換的.
如上例(1)
［師］元素與集合的關系有“屬于∈”及“不屬于 ”（ 也可表示為 ）兩種.
如 A＝{2，4，8，16} 4∈ A 8∈A 32 A
請同學們考慮：
A＝{2，4}，B＝{{1，2}，{2，3}，{2，4}，{3，5}}，
A與B的關系如何？
雖然A本身是一個集合.
但相對B來講，A是B的一個元素.
故A∈B.
幻燈片：
3.常見數集的專用符號
N：非負整數集(或自然數集)(全體非負整數的集合)
N*或N＋：正整數集（非負整數集N內排除0的集合）
Ｚ：整數集（全體整數的集合）
Q：有理數集（全體有理數的集合）
R：實數集（全體實數的集合）
［師］請同學們熟記上述符號及其意義.
Ⅲ.課堂練習
1.(口答)說出下面集合中的元素.
(1){大于3小于11的偶數} 其元素為 4，6，8，10
(2){平方等于1的數} 其元素為－1，1
(3){15的正約數} 其元素為1，3，5，15
2.用符號∈或∈填空
1∈N 0∈N －3∈N 0.5∈N 2 ∈N
1∈Z 0∈Z －3∈Z 0.5∈Ｚ 2 ∈Ｚ
1∈Q 0∈Q －3∈Q 0.5∈Q 2 ∈Q
1∈R 0∈R －3∈R 0.5∈R 2 ∈R
3.判斷正誤：
(1)所有在N中的元素都在N*中( × )
(2)所有在N中的元素都在Z中( √ )
(3)所有不在N*中的數都不在Z中( × )
(4)所有不在Q中的實數都在R中( √ )
(5)由既在R中又在N中的數組成的集合中一定包含數0( × )
(6)不在N中的數不能使方程4x＝8成立( √ )
Ⅳ.課時小結
集合的表示方法
j.Co M 數學必修1：集合的表示方法
目標：掌握集合的 表示方法，能選擇自 然語言、圖形語言、集合語言描述不 同的問題.
重點、難點：用列舉法、描述法表示一個集合.
教學過程：
一、復習引入：
1．回憶集合的概念
2．集合中元素有那些性質？
3．空集、有限集和無 限集的概念
二、講述新課：
集合的表示方法
1、大寫的字母表示集合
2、列舉法：把集合中的元素一一列舉出來，寫在大括號內表示集合的方法.
例如，24所有正約數構成的 集合可以表示為{1，2，3，4 ，6，8，12，24}
注：（1）大括號不能缺失.
(2)有些集合種元素個數較多，元素又呈現出一定的規律，在不至于發生誤解的情況下，亦可如下表示：從1到100的所有整數組成的集合：{1，2，3，…，100}
自然數集N：{1，2，3，4，…,n,…}
（3）區分a與{a} ：{a}表示一個集合，該集合只有一個元素.a表示這個集合的一個元素.
（4）用列舉法表示集合時不必考慮元素的前后 次序.相同的元素不能出現兩次.
3、特征性質描述法：
在 集合I中，屬于集合A的任意元素x都具有性質p(x)，而不屬于集合A的元素都不具有性質p(x),則性質p(x)叫做集合A的一個特征性質，于是集合A可以表示如下：
{x∈Ip(x)}
例如，不等式 的解集可以表示為： 或 ，
所有直角三角形的集合可以表示為： 注：（1）在不致混淆的情況下，也可以寫成：{直角三角形}；{大于104的實數}
（2）注意區別：實數集，{實數集}.
4、文氏圖：用一條封閉的曲線的內部來表示一 個集合.
例1：集合 與集合 是同一個集合 嗎？
答：不是.
集合 是點集，集合 = 是數集。
例2：（教材第7頁例1）
例3：（教材第7頁例2）
課堂練習：
（1）教材第8頁練習A、B
（2）習題1-1A： 1，
小結：
本節課學習了集合的表示方法（字母表示、列舉法、描述法、文氏圖共4種）
課后作業: 1，2
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